質量 $m$ の小さな物体が、水平位置 $x=0$、高さ $h$ から水平方向に初速度 $v_0$ で発射される。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上方を正とする。以下の問いに答える。 (1) 抵抗力が働かない場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。運動方程式を微分方程式の形で書き、それを解くことによって求めること。 (2) (1)の場合に、この物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。 (3) 粘性抵抗が働く場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。 (4) (3) の場合に、この物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。 (5) 慣性抵抗が働く場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小さな物体が、水平位置 $x=0$、高さ $h$ から水平方向に初速度 $v_0$ で発射される。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上方を正とする。以下の問いに答える。

(1) 抵抗力が働かない場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。運動方程式を微分方程式の形で書き、それを解くことによって求めること。

(2) (1)の場合に、この物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。

(3) 粘性抵抗が働く場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。

(4) (3) の場合に、この物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。

(5) 慣性抵抗が働く場合、この物体の任意の時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 抵抗力が働かない場合

$x$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = 0$。初期条件は $v_x(0) = v_0$。

$y$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = -mg$。初期条件は $v_y(0) = 0$。

$x$ 方向の解:

$\frac{dv_x}{dt} = 0$ より、$v_x(t) = C$ ($C$は積分定数)。初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$v_x(t) = v_0$。

$y$ 方向の解:

$\frac{dv_y}{dt} = -g$ より、$v_y(t) = -gt + C'$ ($C'$は積分定数)。初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$C' = 0$。したがって、$v_y(t) = -gt$。

(2) (1)の場合の位置

$x$ 方向の速度は $v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_0$。初期条件は $x(0) = 0$。

$y$ 方向の速度は $v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -gt$。初期条件は $y(0) = h$。

$x$ 方向の解:

$\frac{dx}{dt} = v_0$ より、$x(t) = v_0 t + C''$ ($C''$は積分定数)。初期条件 $x(0) = 0$ より、$C'' = 0$。したがって、$x(t) = v_0 t$。

$y$ 方向の解:

$\frac{dy}{dt} = -gt$ より、$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C'''$ ($C'''$は積分定数)。初期条件 $y(0) = h$ より、$C''' = h$。したがって、$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$。

(3) 粘性抵抗が働く場合

$x$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_1 v_x$。初期条件は $v_x(0) = v_0$。

$y$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_1 v_y$。初期条件は $v_y(0) = 0$。

$x$ 方向の解:

$\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{\gamma_1}{m} dt$ より、$\int \frac{dv_x}{v_x} = \int -\frac{\gamma_1}{m} dt$。

$\ln |v_x| = -\frac{\gamma_1}{m} t + C$。よって、$v_x(t) = Ae^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$ ($A$は積分定数)。初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$A = v_0$。したがって、$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$。

$y$ 方向の解:

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\gamma_1}{m} v_y$ より、$\frac{dv_y}{v_y + \frac{mg}{\gamma_1}} = -\frac{\gamma_1}{m} dt$。

$\int \frac{dv_y}{v_y + \frac{mg}{\gamma_1}} = \int -\frac{\gamma_1}{m} dt$。

$\ln |v_y + \frac{mg}{\gamma_1}| = -\frac{\gamma_1}{m} t + C$。よって、$v_y(t) + \frac{mg}{\gamma_1} = Ae^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$ ($A$は積分定数)。初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$A = \frac{mg}{\gamma_1}$。

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$。

(4) (3)の場合の位置

$x$方向：

$\frac{dx}{dt} = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$x(t) = \int v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} dt = -\frac{m v_0}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} + C$

$x(0) = 0$ より、$0 = -\frac{m v_0}{\gamma_1} + C$。よって、$C = \frac{m v_0}{\gamma_1}$。

$x(t) = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

$y$方向：

$\frac{dy}{dt} = \frac{mg}{\gamma_1}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

$y(t) = \int \frac{mg}{\gamma_1}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1) dt = \frac{mg}{\gamma_1} (-\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - t) + C$

$y(0) = h$ より、$h = \frac{mg}{\gamma_1} (-\frac{m}{\gamma_1}) + C$。よって、$C = h + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}$。

$y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} (-\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - t) + h + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2} = h - \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

(5) 慣性抵抗が働く場合

$x$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2 (\frac{dv_x}{dt})^2$。初期条件は $v_x(0) = v_0$。

$y$ 方向の運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_2 (\frac{dv_y}{dt})^2$。初期条件は $v_y(0) = 0$。

$x$方向： $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2 (\frac{dv_x}{dt})^2$ より、$\frac{dv_x}{dt}(m + \gamma_2 \frac{dv_x}{dt}) = 0$

$\frac{dv_x}{dt} = 0$ 或いは $m + \gamma_2 v_x' = 0$。前者の解は $v_x = C$となり$v_0$になる。 後者の解は$v_x' = -\frac{m}{\gamma_2}$になる。

$y$方向：$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_2 (\frac{dv_y}{dt})^2$

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\gamma_2}{m} (\frac{dy}{dt})^2$

3. 最終的な答え

(1)

$v_x(t) = v_0$

$v_y(t) = -gt$

(2)

$x(t) = v_0 t$

$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h$

(3)

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(4)

$x(t) = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

$y(t) = h - \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

(5)

$v_x(t) = v_0$

$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_2 (\frac{dv_y}{dt})^2$

$y$方向の速度は積分計算が必要で複雑。

$v_y(t) = \sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tan{\left( C_1 - t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}} \right)}$

初期条件から、$0 = \sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tan{\left(C_1 \right)}$。よって、$C_1 = 0$。

$v_y(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tan{\left( t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}} \right)}$