正六角形に関する以下の問題を解きます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数を求めます。 (3) 対角線の本数を求めます。

1. 問題の内容

正六角形に関する以下の問題を解きます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数を求めます。

(3) 対角線の本数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正六角形の頂点は6個あります。この6個の頂点から3個を選んで三角形を作ります。これは組み合わせの問題なので、6個から3個を選ぶ組み合わせの数 $_6C_3$ を計算します。

$$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

したがって、3個の頂点を結んでできる三角形の個数は20個です。

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

正六角形の頂点は6個あります。この6個の頂点から2個を選んで線分を作ります。これは組み合わせの問題なので、6個から2個を選ぶ組み合わせの数 $_6C_2$ を計算します。

$$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

したがって、2個の頂点を結ぶ線分の本数は15本です。

(3) 対角線の本数

対角線は、隣り合わない2つの頂点を結ぶ線分です。正六角形の場合、まず、すべての2頂点を結ぶ線分の本数は、(2)で求めたように15本です。そのうち、正六角形の辺は6本あります。対角線の本数は、すべての線分の本数から辺の数を引けば求められます。

対角線の本数 = 15 - 6 = 9

したがって、対角線の本数は9本です。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 15本

(3) 9本