三角形ABCにおいて、辺の長さが$a=5$, $b=6$, $c=7$のとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが$a=5$, $b=6$, $c=7$のとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入して計算する。

$\cos A = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(2) $\sin A$を求める。

三角関数の相互関係より、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$であるから、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$

$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{5}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{49 - 25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

ここで、$A$は三角形の内角なので、$0 < A < \pi$。したがって、$\sin A > 0$。

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{5}{7}$

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{7}$