円 $C: x^2 + y^2 = 1$ が与えられている。 (1) 点 $(a, b)$ を中心とし、$C$ に外接する円の半径を $a, b$ の式で表す。 (2) $C$ に外接し、直線 $y = 3$ に接する円の中心の軌跡の方程式を求める。 (3) (2) で求めた軌跡の方程式を $y = f(x)$ とするとき、点 $(x, y)$ が不等式 $y \le f(x)$ の表す座標平面上の領域を動くとき、$x + 2y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 1$ が与えられている。

(1) 点 $(a, b)$ を中心とし、$C$ に外接する円の半径を $a, b$ の式で表す。

(2) $C$ に外接し、直線 $y = 3$ に接する円の中心の軌跡の方程式を求める。

(3) (2) で求めた軌跡の方程式を $y = f(x)$ とするとき、点 $(x, y)$ が不等式 $y \le f(x)$ の表す座標平面上の領域を動くとき、$x + 2y$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(a, b)$ を中心とする円が円 $C: x^2 + y^2 = 1$ に外接するとき、2円の中心間の距離は、それぞれの円の半径の和に等しい。円 $C$ の半径は1である。点 $(a, b)$ を中心とする円の半径を $r$ とすると、2円の中心間の距離は $\sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$ であるから、

$\sqrt{a^2 + b^2} = 1 + r$

$r = \sqrt{a^2 + b^2} - 1$

(2) $C$ に外接し、直線 $y = 3$ に接する円の中心を $(x, y)$ とする。この円の半径は、(1)より $\sqrt{x^2 + y^2} - 1$ と表せる。また、この円が直線 $y = 3$ に接するので、円の中心 $(x, y)$ から直線 $y = 3$ までの距離は、この円の半径に等しい。したがって、

$|y - 3| = \sqrt{x^2 + y^2} - 1$

$\sqrt{x^2 + y^2} = |y - 3| + 1$

両辺を2乗して整理すると、

$x^2 + y^2 = (y - 3)^2 + 2|y - 3| + 1$

$x^2 + y^2 = y^2 - 6y + 9 + 2|y - 3| + 1$

$x^2 + 6y - 10 = 2|y - 3|$

ここで、場合分けを行う。

(i) $y \ge 3$ のとき

$x^2 + 6y - 10 = 2(y - 3)$

$x^2 + 6y - 10 = 2y - 6$

$x^2 = -4y + 4$

$4y = -x^2 + 4$

$y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$

これは $y \ge 3$ を満たさないため、不適。

(ii) $y < 3$ のとき

$x^2 + 6y - 10 = -2(y - 3)$

$x^2 + 6y - 10 = -2y + 6$

$x^2 = -8y + 16$

$8y = -x^2 + 16$

$y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

(3) $y = f(x) = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

$y \le f(x)$ より、$y \le -\frac{1}{8}x^2 + 2$

$x + 2y = k$ とおくと、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$

これを $y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$ に代入して、$-\frac{1}{2}x + \frac{k}{2} = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

$x^2 - 4x + 4k - 16 = 0$

この $x$ に関する二次方程式が実数解を持つ条件は判別式 $D \ge 0$ より、

$D = (-4)^2 - 4(1)(4k - 16) \ge 0$

$16 - 16k + 64 \ge 0$

$-16k \ge -80$

$k \le 5$

したがって、$x + 2y$ の最大値は $5$ である。

そのとき、$x^2 - 4x + 4(5) - 16 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = -\frac{1}{2}(2) + \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $r = \sqrt{a^2 + b^2} - 1$

(2) $y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

(3) $x + 2y$ の最大値は $5$ で、そのとき $(x, y) = (2, \frac{3}{2})$