$p$ は奇数の素数であり、$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ と定義される。 (1) $N$ が48の倍数であることを示す。 (2) $N$ が144の倍数となるような $p$ の値を小さい順に5つ求める。

1. 問題の内容

$p$ は奇数の素数であり、$N = (p+1)(p+3)(p+5)$ と定義される。

(1) $N$ が48の倍数であることを示す。

(2) $N$ が144の倍数となるような $p$ の値を小さい順に5つ求める。

2. 解き方の手順

(1) $p$ は奇数の素数なので、$p+1$, $p+3$, $p+5$ は連続する3つの偶数である。したがって、$p+1 = 2k$, $p+3 = 2(k+1)$, $p+5 = 2(k+2)$ と表せる。

$N = (p+1)(p+3)(p+5) = (2k)(2(k+1))(2(k+2)) = 8k(k+1)(k+2)$

$k$, $k+1$, $k+2$ は連続する3つの整数なので、少なくとも1つは3の倍数であり、少なくとも1つは偶数である。

したがって、$k(k+1)(k+2)$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数である。

よって、$N = 8k(k+1)(k+2)$ は $8 \times 6 = 48$ の倍数である。

(2) $N$ が144の倍数であるためには、 $N = 48 \times 3 \times m = 144m$ (mは整数)となる必要がある。

$N = (p+1)(p+3)(p+5) = 8k(k+1)(k+2)$ であり、$N$ が144の倍数であるためには、 $8k(k+1)(k+2)$ が $144m$ となる必要がある。

$k(k+1)(k+2)$ が $18m$ となる必要がある。

ここで、$p = 2k-1$ である。

$p=3$ のとき、 $N = 4 \times 6 \times 8 = 192 = 144 \times \frac{4}{3}$ となり、144の倍数ではない。

$p=5$ のとき、 $N = 6 \times 8 \times 10 = 480 = 144 \times \frac{10}{3}$ となり、144の倍数ではない。

$p=7$ のとき、 $N = 8 \times 10 \times 12 = 960 = 144 \times \frac{20}{3}$ となり、144の倍数ではない。

$p=11$ のとき、 $N = 12 \times 14 \times 16 = 2688 = 144 \times 18.666...$ となり、144の倍数ではない。

$p=13$ のとき、 $N = 14 \times 16 \times 18 = 4032 = 144 \times 28$ となり、144の倍数である。

$p=17$ のとき、 $N = 18 \times 20 \times 22 = 7920 = 144 \times 55$ となり、144の倍数である。

$p=19$ のとき、 $N = 20 \times 22 \times 24 = 10560 = 144 \times 73.333...$ となり、144の倍数ではない。

$p=23$ のとき、 $N = 24 \times 26 \times 28 = 17472 = 144 \times 121.333...$ となり、144の倍数ではない。

$p=29$ のとき、 $N = 30 \times 32 \times 34 = 32640 = 144 \times 226.666...$ となり、144の倍数ではない。

$p=31$ のとき、 $N = 32 \times 34 \times 36 = 39168 = 144 \times 272$ となり、144の倍数である。

$p=37$ のとき、 $N = 38 \times 40 \times 42 = 63840 = 144 \times 443.333...$ となり、144の倍数ではない。

$p=41$ のとき、 $N = 42 \times 44 \times 46 = 85584 = 144 \times 594.333...$ となり、144の倍数ではない。

$p=43$ のとき、 $N = 44 \times 46 \times 48 = 97536 = 144 \times 677.333...$ となり、144の倍数ではない。

$p=47$ のとき、 $N = 48 \times 50 \times 52 = 124800 = 144 \times 866.666...$ となり、144の倍数ではない。

$p=53$ のとき、 $N = 54 \times 56 \times 58 = 175392 = 144 \times 1218$ となり、144の倍数である。

$p=61$ のとき、 $N = 62 \times 64 \times 66 = 261888 = 144 \times 1818$ となり、144の倍数である。

$k(k+1)(k+2)$ が $18m$ となる $k$ を探す。$p=2k-1$

$k=7 \Rightarrow p=13, N = 14 \times 16 \times 18 = 4032 = 144 \times 28$

$k=9 \Rightarrow p=17, N = 18 \times 20 \times 22 = 7920 = 144 \times 55$

$k=16 \Rightarrow p=31, N = 32 \times 34 \times 36 = 39168 = 144 \times 272$

$k=27 \Rightarrow p=53, N = 54 \times 56 \times 58 = 175392 = 144 \times 1218$

$k=31 \Rightarrow p=61, N = 62 \times 64 \times 66 = 261888 = 144 \times 1818$

3. 最終的な答え

13, 17, 31, 53, 61