座標空間における3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)が与えられている。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ と三角形OABの面積を求める。 (2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ と表すとき、$u, \vec{CD} \cdot \vec{OA}, \vec{CD} \cdot \vec{OB}, s, t$を求める。ただし、Dは平面OABに関してCと対称な点である。 (3) 点Cと点Dの間の距離と四面体OABCの体積を求める。 (4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。 (5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

1. 問題の内容

座標空間における3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)が与えられている。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ と三角形OABの面積を求める。

(2) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ と表すとき、$u, \vec{CD} \cdot \vec{OA}, \vec{CD} \cdot \vec{OB}, s, t$を求める。ただし、Dは平面OABに関してCと対称な点である。

(3) 点Cと点Dの間の距離と四面体OABCの体積を求める。

(4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。

(5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA} = (1, -1, 0), \vec{OB} = (1, 1, 4)$より、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1 - 1 + 0 = 0$

三角形OABの面積は$\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}| \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2 - (\vec{OA} \cdot \vec{OB})^2}$

$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}, |\vec{OB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 18 - 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(2) Dは平面OABに関してCと対称なので、$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \vec{OC}$であるから、$u = -1$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - 2\vec{OC}$

$\vec{CD}$は平面OABに垂直なので、$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 0, \vec{CD} \cdot \vec{OB} = 0$

$s(\vec{OA} \cdot \vec{OA}) + t(\vec{OB} \cdot \vec{OA}) - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OA}) = 0$

$s(1^2 + (-1)^2 + 0^2) + t(1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 0) - 2(4 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 0) = 0$

$2s + 0t - 2(4 - 3) = 0 \implies 2s - 2 = 0 \implies s = 1$

$s(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + t(\vec{OB} \cdot \vec{OB}) - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OB}) = 0$

$1(0) + t(1^2 + 1^2 + 4^2) - 2(4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 4) = 0$

$18t - 2(4 + 3 + 20) = 0 \implies 18t - 2(27) = 0 \implies 18t = 54 \implies t = 3$

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = s|\vec{OA}|^2 + t(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OA}) = 1(2) + 3(0) - 2(1) = 2 - 2 = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = s(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + t|\vec{OB}|^2 - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OB}) = 1(0) + 3(18) - 2(27) = 54 - 54 = 0$

(3) $\vec{OC} = (4, 3, 5), \vec{OD} = \vec{OA} + 3\vec{OB} - \vec{OC} = (1, -1, 0) + 3(1, 1, 4) - (4, 3, 5) = (1+3-4, -1+3-3, 0+12-5) = (0, -1, 7)$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (0, -1, 7) - (4, 3, 5) = (-4, -4, 2)$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{6} | (\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC} |$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (-4-0)\vec{i} - (4-0)\vec{j} + (1-(-1))\vec{k} = (-4, -4, 2)$

$(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC} = (-4, -4, 2) \cdot (4, 3, 5) = -16 - 12 + 10 = -18$

体積 = $\frac{1}{6}|-18| = \frac{18}{6} = 3$

(4) $\vec{AB} = (0, 2, 4), \vec{AC} = (3, 4, 5)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = (10-16)\vec{i} - (0-12)\vec{j} + (0-6)\vec{k} = (-6, 12, -6)$

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + 12^2 + (-6)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 144 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{216} = \frac{1}{2} \sqrt{36 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

三角錐O-ABCの体積 = $\frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{6}) \cdot h = 3$ より、高さ $h = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(5) 球面の中心を(x, y, z)とする。A, B, C, Dを通るので、

$(x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2 = x^2 + (y+1)^2 + (z-7)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 8z + 16$

$2y + 2 = -2y - 8z + 18 \implies 4y + 8z = 16 \implies y + 2z = 4$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 10z + 25$

$-2x + 2y = -8x - 6y - 10z + 48 \implies 6x + 8y + 10z = 48 \implies 3x + 4y + 5z = 24$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 14z + 49$

$-2x + 2 = -14z + 50 \implies -2x + 14z = 48 \implies -x + 7z = 24 \implies x = 7z - 24$

$y = 4 - 2z$

$3(7z - 24) + 4(4 - 2z) + 5z = 24$

$21z - 72 + 16 - 8z + 5z = 24 \implies 18z = 80 \implies z = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}$

$x = 7 \cdot \frac{40}{9} - 24 = \frac{280 - 216}{9} = \frac{64}{9}$

$y = 4 - 2 \cdot \frac{40}{9} = \frac{36 - 80}{9} = -\frac{44}{9}$

球面の中心$(\frac{64}{9}, -\frac{44}{9}, \frac{40}{9})$

$r^2 = (\frac{64}{9} - 1)^2 + (-\frac{44}{9} + 1)^2 + (\frac{40}{9})^2 = (\frac{55}{9})^2 + (-\frac{35}{9})^2 + (\frac{40}{9})^2 = \frac{3025 + 1225 + 1600}{81} = \frac{5850}{81} = \frac{650}{9}$

$r = \sqrt{\frac{650}{9}} = \frac{\sqrt{650}}{3} = \frac{5\sqrt{26}}{3}$

z座標は $\frac{40}{9}$, 半径は $\frac{5\sqrt{26}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

三角形OABの面積 = $3$

(2) $u = -1$

$\vec{CD} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{OB} = 0$

$s = 1$

$t = 3$

(3) 点Cと点Dの間の距離 = $6$

四面体OABCの体積 = $3$

(4) 三角形ABCの面積 = $3\sqrt{6}$

三角錐O-ABCの高さ = $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(5) 球面の中心のz座標 = $\frac{40}{9}$

半径 = $\frac{5\sqrt{26}}{3}$