29個の値 $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, ..., 29$) からなる変量 $x$ について、平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求め、次に、変量 $z$ を $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$ で定めたときの平均値 $\bar{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数であり、$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを利用します。

1. 問題の内容

29個の値 $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, ..., 29$) からなる変量 $x$ について、平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求め、次に、変量 $z$ を $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$ で定めたときの平均値 $\bar{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数であり、$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを利用します。

2. 解き方の手順

(1) 平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求める。

まず、平均値 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} x_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} ai = \frac{a}{29} \sum_{i=1}^{29} i$

$\sum_{i=1}^{29} i = \frac{29(29+1)}{2} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

よって、

$\bar{x} = \frac{a}{29} \cdot 435 = 15a$

次に、分散 $s_x^2$ を計算します。

$s_x^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (ai - 15a)^2 = \frac{a^2}{29} \sum_{i=1}^{29} (i - 15)^2$

$\sum_{i=1}^{29} (i - 15)^2 = \sum_{i=1}^{29} (i^2 - 30i + 225) = \sum_{i=1}^{29} i^2 - 30 \sum_{i=1}^{29} i + \sum_{i=1}^{29} 225$

$\sum_{i=1}^{29} i^2 = \frac{29(29+1)(2 \cdot 29 + 1)}{6} = \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6} = 29 \cdot 5 \cdot 59 = 8555$

$\sum_{i=1}^{29} i = 435$

$\sum_{i=1}^{29} 225 = 29 \cdot 225 = 6525$

したがって、

$\sum_{i=1}^{29} (i - 15)^2 = 8555 - 30 \cdot 435 + 6525 = 8555 - 13050 + 6525 = 2030$

よって、

$s_x^2 = \frac{a^2}{29} \cdot 2030 = 70a^2$

標準偏差 $s_x$ は

$s_x = \sqrt{70a^2} = a\sqrt{70}$

(2) 平均値 $\bar{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求める。

$z = \frac{x - \bar{x}}{s_x} = \frac{x - 15a}{a\sqrt{70}}$

$\bar{z} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} z_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} \frac{x_i - 15a}{a\sqrt{70}} = \frac{1}{29a\sqrt{70}} \sum_{i=1}^{29} (x_i - 15a)$

$= \frac{1}{29a\sqrt{70}} (\sum_{i=1}^{29} x_i - \sum_{i=1}^{29} 15a) = \frac{1}{29a\sqrt{70}} (29\bar{x} - 29 \cdot 15a)$

$= \frac{1}{29a\sqrt{70}} (29 \cdot 15a - 29 \cdot 15a) = 0$

$s_z^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (z_i - \bar{z})^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (\frac{x_i - 15a}{a\sqrt{70}} - 0)^2 = \frac{1}{29a^2 \cdot 70} \sum_{i=1}^{29} (x_i - 15a)^2$

$= \frac{1}{29a^2 \cdot 70} \sum_{i=1}^{29} (ai - 15a)^2 = \frac{1}{29 \cdot 70} \sum_{i=1}^{29} (i - 15)^2$

$= \frac{2030}{29 \cdot 70} = \frac{2030}{2030} = 1$

したがって、

$s_z = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{x} = 15a$, $s_x = a\sqrt{70}$

(2) $\bar{z} = 0$, $s_z = 1$