複数の二次方程式が与えられています。それぞれの問題ごとに指定された方法（因数分解、平方根、解の公式）を用いて解を求める問題、または二次方程式が与えられた解を持つ場合に定数の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複数の二次方程式が与えられています。それぞれの問題ごとに指定された方法（因数分解、平方根、解の公式）を用いて解を求める問題、または二次方程式が与えられた解を持つ場合に定数の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

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1

7

5. 因数分解を利用して解く**

(1) $x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

(2) $x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

(3) $x^2 + 4x - 5 = 0$

$(x + 5)(x - 1) = 0$

$x = -5, 1$

(4) $4x^2 + 8x + 3 = 0$

$(2x + 1)(2x + 3) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

(5) $4x^2 - 49 = 0$

$(2x - 7)(2x + 7) = 0$

$x = \frac{7}{2}, -\frac{7}{2}$

(6) $9x^2 - 30x + 25 = 0$

$(3x - 5)^2 = 0$

$x = \frac{5}{3}$

**

1

7

6. 平方根を利用して解く**

(1) $9x^2 = 16$

$x^2 = \frac{16}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}} = \pm\frac{4}{3}$

(2) $25x^2 - 7 = 0$

$25x^2 = 7$

$x^2 = \frac{7}{25}$

$x = \pm\sqrt{\frac{7}{25}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{5}$

(3) $(x + 1)^2 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 = 3$

$x + 1 = \pm\sqrt{3}$

$x = -1 \pm \sqrt{3}$

**

1

7

7. 解の公式を利用して解く**

解の公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

(1) $x^2 + 5x + 2 = 0$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

(2) $3x^2 - 5x - 1 = 0$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

(3) $-2x^2 + 11x - 5 = 0$

$2x^2 - 11x + 5 = 0$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{11 \pm 9}{4}$

$x = \frac{20}{4} = 5$, $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(4) $x^2 + 14x - 3 = 0$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 12}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{208}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{16 \times 13}}{2} = \frac{-14 \pm 4\sqrt{13}}{2} = -7 \pm 2\sqrt{13}$

(5) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(4)(9)}}{2(4)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{3}{2}$

(6) $3x^2 - 15\sqrt{3}x + 54 = 0$

$x^2 - 5\sqrt{3}x + 18 = 0$

$x = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{(-5\sqrt{3})^2 - 4(1)(18)}}{2} = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{75 - 72}}{2} = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, $x = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

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1

7

8. 二次方程式を解く**

(1) $-x^2 - 2x + 1 = 0$

$x^2 + 2x - 1 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

(2) $(x + 2)(x + 3) = 2$

$x^2 + 5x + 6 = 2$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

$(x + 1)(x + 4) = 0$

$x = -1, -4$

(3) $0.2x^2 - 0.5x - 1.2 = 0$

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x + 3)(x - 4) = 0$

$x = -\frac{3}{2}, 4$

(4) $2(x + 1)^2 = (x + 2)(x - 1) + 2$

$2(x^2 + 2x + 1) = x^2 + x - 2 + 2$

$2x^2 + 4x + 2 = x^2 + x$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

$(x + 1)(x + 2) = 0$

$x = -1, -2$

(5) $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = 0$

$2x^2 + 3x - 9 = 0$

$(2x - 3)(x + 3) = 0$

$x = \frac{3}{2}, -3$

(6) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$

$2x^2 - 15x + 6 = 0$

$x = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(2)(6)}}{2(2)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 48}}{4} = \frac{15 \pm \sqrt{177}}{4}$

**

1

7

9. 解を持つときの定数mの値と他の解を求める**

(1) $2x^2 - (m + 1)x + m = 0$, $x = 2$

$2(2)^2 - (m + 1)(2) + m = 0$

$8 - 2m - 2 + m = 0$

$6 - m = 0$

$m = 6$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

$(2x - 3)(x - 2) = 0$

$x = \frac{3}{2}, 2$

他の解は $x = \frac{3}{2}$

(2) $x^2 - mx - m^2 - 9 = 0$, $x = -3$

$(-3)^2 - m(-3) - m^2 - 9 = 0$

$9 + 3m - m^2 - 9 = 0$

$-m^2 + 3m = 0$

$m(3 - m) = 0$

$m = 0, 3$

$m = 0$ のとき $x^2 - 9 = 0$ で、 $x = \pm 3$ となり他の解は $x=3$

$m = 3$ のとき $x^2 - 3x - 18 = 0$ で、$(x - 6)(x + 3) = 0$ となり他の解は $x = 6$

3. 最終的な答え

**175.**

(1) $x = 0, 4$

(2) $x = 1, 2$

(3) $x = -5, 1$

(4) $x = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

(5) $x = \frac{7}{2}, -\frac{7}{2}$

(6) $x = \frac{5}{3}$

**176.**

(1) $x = \pm\frac{4}{3}$

(2) $x = \pm\frac{\sqrt{7}}{5}$

(3) $x = -1 \pm \sqrt{3}$

**177.**

(1) $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

(2) $x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

(3) $x = 5, \frac{1}{2}$

(4) $x = -7 \pm 2\sqrt{13}$

(5) $x = \frac{3}{2}$

(6) $x = 3\sqrt{3}, 2\sqrt{3}$

**178.**

(1) $x = -1 \pm \sqrt{2}$

(2) $x = -1, -4$

(3) $x = -\frac{3}{2}, 4$

(4) $x = -1, -2$

(5) $x = \frac{3}{2}, -3$

(6) $x = \frac{15 \pm \sqrt{177}}{4}$

**179.**

(1) $m = 6$, 他の解は $x = \frac{3}{2}$

(2) $m = 0$ のとき、他の解は $x = 3$

$m = 3$ のとき、他の解は $x = 6$