与えられた方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $x-3 \ge 0$, つまり $x \ge 3$ のとき、 $x-3 = 2x$

$x = -3$. しかし、$x \ge 3$ を満たさないため、不適。

(ii) $x-3 < 0$, つまり $x < 3$ のとき、 $-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3x = 3$

$x = 1$. これは $x < 3$ を満たすので、適する。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $x-4 \ge 0$, つまり $x \ge 4$ のとき、 $x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は、$x \ge 4$

(ii) $x-4 < 0$, つまり $x < 4$ のとき、 $-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

$1 \le x$ と $x < 4$ の共通範囲は、$1 \le x < 4$

(i)と(ii)の結果を合わせて、$x \ge 1$

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値の中身の正負で場合分けします。

(i) $x+1 \ge 0$, つまり $x \ge -1$ のとき、 $x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は、 $-1 \le x < \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$, つまり $x < -1$ のとき、 $-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は、$x < -1$

(i)と(ii)の結果を合わせて、$x < \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$