行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}$、 $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$、 $B = P^{-1}AP$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $B$ を求めよ。 (2) $B^n$ （$n$ は0以上の整数）を求めよ。 (3) $A^n$ （$n$ は0以上の整数）を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}$、 $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$、 $B = P^{-1}AP$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $B$ を求めよ。

(2) $B^n$ （$n$ は0以上の整数）を求めよ。

(3) $A^n$ （$n$ は0以上の整数）を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $B$ を求める。

まず、$P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ のとき、$P^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ である。

$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ より、$ad-bc = 2*1 - 1*1 = 1$ であるから、

$P^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$B = P^{-1}AP$ を計算する。

$AP = \begin{pmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16-10 & 8-10 \\ 10-7 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

$B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-3 & -2+2 \\ -6+6 & 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $B^n$ を求める。

$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ は対角行列なので、$B^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}$

(3) $A^n$ を求める。

$B = P^{-1}AP$ より、$A = PBP^{-1}$

よって、$A^n = (PBP^{-1})^n = (PBP^{-1})(PBP^{-1})...(PBP^{-1}) = PB^nP^{-1}$

したがって、$A^n = PB^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*3^n & (-2)^n \\ 3^n & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2*3^n - (-2)^n & -2*3^n + 2*(-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -3^n + 2*(-2)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $B^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}$

(3) $A^n = \begin{pmatrix} 2*3^n - (-2)^n & -2*3^n + 2*(-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -3^n + 2*(-2)^n \end{pmatrix}$