与えられた不等式または方程式を解きます。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

与えられた不等式または方程式を解きます。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値記号を外すために、2つの場合を考えます。

(i) $x-3 \ge 0$, つまり $x \ge 3$ のとき:

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

しかし、$x \ge 3$ という条件を満たさないので、この場合は解なしです。

(ii) $x-3 < 0$, つまり $x < 3$ のとき:

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x = 1$

$x < 3$ という条件を満たすので、$x=1$ は解です。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値記号を外すために、2つの場合を考えます。

(i) $x-4 \ge 0$, つまり $x \ge 4$ のとき:

$x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

$x \ge 4$ という条件と合わせて、$x \ge 4$ が得られます。

(ii) $x-4 < 0$, つまり $x < 4$ のとき:

$-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

$1 \le x < 4$ が得られます。

(i)と(ii)を合わせると、$x \ge 1$ が解となります。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値記号を外すために、2つの場合を考えます。

(i) $x+1 \ge 0$, つまり $x \ge -1$ のとき:

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ という条件と合わせて、$-1 \le x < \frac{1}{4}$ が得られます。

(ii) $x+1 < 0$, つまり $x < -1$ のとき:

$-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ という条件と合わせて、$x < -1$ が得られます。

(i)と(ii)を合わせると、$x < \frac{1}{4}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$