与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 3x - 1$ を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 3x - 1$ を平方完成し、頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までをくくり出す。

\begin{align*}

y &= -2x^2 + 3x - 1 \\

&= -2\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) - 1

\end{align*}

次に、括弧の中を平方完成する。$x$ の係数の半分を2乗したものを足して引く。

\begin{align*}

y &= -2\left(x^2 - \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right) - 1 \\

&= -2\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right) - 1

\end{align*}

括弧をはずして整理する。

\begin{align*}

y &= -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} - 1 \\

&= -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} - \frac{8}{8} \\

&= -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{8}\right)$ である。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{8}\right)$