関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$x$ の変化量に対する $y$ の変化量の比で表されます。

まず、$x=a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = -a^2 + 5a + 1$

次に、$x=a+h$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a+h) = -(a+h)^2 + 5(a+h) + 1$

$= -(a^2 + 2ah + h^2) + 5a + 5h + 1$

$= -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1$

$y$ の変化量は、$y(a+h) - y(a)$ で与えられます。

$y(a+h) - y(a) = (-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1) - (-a^2 + 5a + 1)$

$= -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1 + a^2 - 5a - 1$

$= -2ah - h^2 + 5h$

$= h(-2a - h + 5)$

$x$ の変化量は、$a+h - a = h$ です。

したがって、平均変化率は次のようになります。

$\frac{y(a+h) - y(a)}{a+h - a} = \frac{h(-2a - h + 5)}{h}$

$h$ で割ると、

$-2a - h + 5$

3. 最終的な答え

$-2a - h + 5$