$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる数を10進法で表す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる数を10進法で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を式で表す。求める数を $N$ とすると、

$N = 49a + 7b + c$ (7進数)

$N = 25b + 5c + a$ (5進数)

この2つの式から、

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a = 18b + 4c$

$24a = 9b + 2c$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ0から6までの整数であり、5進数表示があることから、$a, b, c$ は0から4までの整数である。

また、最高位の数字である $a$ および $b$ は0ではない。

$24a = 9b + 2c$ という式について考える。

$a = 1$ のとき、$24 = 9b + 2c$。

$b = 1$ とすると、$24 = 9 + 2c$ より、$2c = 15$。これは不適。

$b = 2$ とすると、$24 = 18 + 2c$ より、$2c = 6$。よって、$c = 3$。

$b = 3$ とすると、$24 = 27 + 2c$ より、$2c = -3$。これは不適。

したがって、$a = 1, b = 2, c = 3$ が一つの解の候補である。

$a = 2$ のとき、$48 = 9b + 2c$

$b = 0$ とすると、$48 = 2c$ より、$c = 24$。これは不適。

$b = 1$ とすると、$48 = 9 + 2c$ より、$2c = 39$。これは不適。

$b = 2$ とすると、$48 = 18 + 2c$ より、$2c = 30$。よって、$c = 15$。これは不適。

$b = 3$ とすると、$48 = 27 + 2c$ より、$2c = 21$。これは不適。

$b = 4$ とすると、$48 = 36 + 2c$ より、$2c = 12$。よって、$c = 6$。これは不適。

$b = 5$ とすると、$48 = 45 + 2c$ より、$2c = 3$。これは不適。

$a=1, b=2, c=3$ のとき、10進数で表すと

$N = 49a + 7b + c = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

$N = 25b + 5c + a = 25(2) + 5(3) + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

したがって、$a = 1, b = 2, c = 3$ が正しい解である。

3. 最終的な答え

66