白熱電球の発熱体を黒体と仮定し、以下の問いに答える問題です。 (i) 最も強度の高い波長から発熱体の温度 $T$ を求めます。 (ii) 発熱体が単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギー $W$ を求めます。 (iii) 発熱体の表面積が $0.30 \text{ cm}^2$ であるとき、放出されるエネルギーを求めます。 (iv) 可視光線と赤外線の放出エネルギーの割合を計算し、白熱電灯が照明器か赤外線照射器かを判断します。

1. 問題の内容

白熱電球の発熱体を黒体と仮定し、以下の問いに答える問題です。

(i) 最も強度の高い波長から発熱体の温度 $T$ を求めます。

(ii) 発熱体が単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギー $W$ を求めます。

(iii) 発熱体の表面積が $0.30 \text{ cm}^2$ であるとき、放出されるエネルギーを求めます。

(iv) 可視光線と赤外線の放出エネルギーの割合を計算し、白熱電灯が照明器か赤外線照射器かを判断します。

2. 解き方の手順

(i) ウィーンの変位則を利用して温度を求めます。ウィーンの変位則は

$\lambda_{max} T = b$

ここで$\lambda_{max}$は最も強度の高い波長、$T$は絶対温度、$b$はウィーンの変位定数で、$b = 2.898 \times 10^{-3} \text{ m K}$です。$\lambda_{max} = 1.07 \mu\text{m} = 1.07 \times 10^{-6} \text{ m}$なので、

$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \text{ m K}}{1.07 \times 10^{-6} \text{ m}} = 2708.41 \text{ K}$

(ii) 問題文には(i)で求めた温度を用いてプランクの法則から可視光線と赤外線の放出エネルギーが与えられています。全エネルギーはこれらの和で与えられます。

$W_V = 2.2 \times 10^2 \text{ kW/m}^2 = 2.2 \times 10^5 \text{ W/m}^2$

$W_{IR} = 2.8 \times 10^3 \text{ kW/m}^2 = 2.8 \times 10^6 \text{ W/m}^2$

よって、単位時間・単位面積あたりの放出エネルギー $W$ は

$W = W_V + W_{IR} = 2.2 \times 10^5 \text{ W/m}^2 + 2.8 \times 10^6 \text{ W/m}^2 = 3.02 \times 10^6 \text{ W/m}^2$

(iii) 発熱体の表面積 $A = 0.30 \text{ cm}^2 = 0.30 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ なので、放出されるエネルギーは

$W \times A = 3.02 \times 10^6 \text{ W/m}^2 \times 0.30 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 90.6 \text{ W}$

(iv) 全エネルギーに対する可視光のエネルギーの割合は

$\frac{W_V}{W_V + W_{IR}} = \frac{2.2 \times 10^5}{3.02 \times 10^6} = 0.0728$

全エネルギーに対する赤外線のエネルギーの割合は

$\frac{W_{IR}}{W_V + W_{IR}} = \frac{2.8 \times 10^6}{3.02 \times 10^6} = 0.9272$

赤外線の割合が非常に高いため、白熱電灯は照明器というよりは赤外線照射器（暖房機器）であると言えます。

3. 最終的な答え

(i) $T = 2708.41 \text{ K}$

(ii) $W = 3.02 \times 10^6 \text{ W/m}^2$

(iii) $90.6 \text{ W}$

(iv) 赤外線の割合が高いため、白熱電灯は赤外線照射器である。