関数 $f(x) = 2x^3 + 5x - 7$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -2$ および $x = 3$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 + 5x - 7$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -2$ および $x = 3$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = 2x^3 + 5x - 7$ の各項を微分する。

$2x^3$ の微分は $2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$

$5x$ の微分は $5 \cdot 1x^{1-1} = 5$

$-7$ の微分は $0$

したがって、導関数は次のようになる。

$f'(x) = 6x^2 + 5$

(2) $x = -2$ のときの $f'(-2)$ を求める。

$f'(x) = 6x^2 + 5$ に $x = -2$ を代入する。

$f'(-2) = 6(-2)^2 + 5 = 6(4) + 5 = 24 + 5 = 29$

(3) $x = 3$ のときの $f'(3)$ を求める。

$f'(x) = 6x^2 + 5$ に $x = 3$ を代入する。

$f'(3) = 6(3)^2 + 5 = 6(9) + 5 = 54 + 5 = 59$

3. 最終的な答え

導関数の式: $f'(x) = 6x^2 + 5$

$x = -2$ のときの傾き: $f'(-2) = 29$

$x = 3$ のときの傾き: $f'(3) = 59$