与えられた積分を計算する問題です。積分は $\int e^{-7x^2}dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は $\int e^{-7x^2}dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は、初等関数では表すことができません。つまり、基本的な関数（多項式、指数関数、三角関数など）の組み合わせでは正確な表現ができないということです。

この積分は、特殊関数である誤差関数（erf）を用いて表現できます。誤差関数は以下のように定義されます。

$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^2}dt$

元の積分 $\int e^{-7x^2}dx$ を誤差関数の形に近づけるように変形します。

まず、$u = \sqrt{7}x$ と置換すると、$du = \sqrt{7}dx$ となり、$dx = \frac{1}{\sqrt{7}}du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int e^{-7x^2}dx = \int e^{-u^2} \frac{1}{\sqrt{7}}du = \frac{1}{\sqrt{7}} \int e^{-u^2}du$

ここで、誤差関数の定義を参考にすると、$\int e^{-u^2}du$ は誤差関数に関係していることがわかります。誤差関数の積分形の定数倍であることを考慮すると、

$\int e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(u) + C$

となります。したがって、元の積分は

$\frac{1}{\sqrt{7}} \int e^{-u^2}du = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(u) + C = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{7}} erf(\sqrt{7}x) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{7}} erf(\sqrt{7}x) + C$