集合 A と B が与えられており、$A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$、$B = \{2, 4, 8, 2a + 1, -a + 7\}$ である。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるとき、$a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

集合 A と B が与えられており、$A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$、$B = \{2, 4, 8, 2a + 1, -a + 7\}$ である。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるとき、$a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{3, 4\}$ であることから、$3 \in A$ かつ $3 \in B$、かつ $4 \in A$ かつ $4 \in B$ である。

$3 \in B$ より、$2a + 1 = 3$ または $-a + 7 = 3$ のいずれかが成り立つ。

$2a + 1 = 3$ のとき、$2a = 2$ より $a = 1$。

$-a + 7 = 3$ のとき、$a = 4$。

$4 \in B$ なので、$B$ の要素に 4 が含まれている必要がある。

次に、$4 \in A$ より、$-a^2 + 5a = 4$ が成り立つ必要がある。

$-a^2 + 5a - 4 = 0$ より、$a^2 - 5a + 4 = 0$。

$(a - 1)(a - 4) = 0$ より、$a = 1$ または $a = 4$。

$a = 1$ の場合：

$A = \{1, 3, 6, 4\}$、$B = \{2, 4, 8, 3, 6\}$。

$A \cap B = \{3, 4, 6\}$ となり、$A \cap B = \{3, 4\}$ に矛盾。

$a = 4$ の場合：

$A = \{1, 3, 6, -16 + 20\} = \{1, 3, 6, 4\}$、$B = \{2, 4, 8, 9, 3\}$。

$A \cap B = \{3, 4\}$ となる。

したがって、$a = 4$。

このとき、$A = \{1, 3, 4, 6\}$、$B = \{2, 3, 4, 8, 9\}$。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\}$ であり、要素の個数は 7。

3. 最終的な答え

$a = 4$ のとき、$A \cap B = \{3, 4\}$ となる。

このとき、$A \cup B$ の要素の個数は 7 個である。