次の５つの式を因数分解します。 (1) $4x^3 - 5x^2y - 6xy^2$ (2) $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd$ (3) $2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6$ (4) $x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z$ (5) $x^6 + 7x^3 - 8$

はい、承知いたしました。画像に写っている５つの数式を因数分解します。

1. 問題の内容

次の５つの式を因数分解します。

(1) $4x^3 - 5x^2y - 6xy^2$

(2) $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd$

(3) $2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6$

(4) $x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z$

(5) $x^6 + 7x^3 - 8$

2. 解き方の手順

(1)

$4x^3 - 5x^2y - 6xy^2$ を因数分解します。

共通因数 $x$ でくくると、

$x(4x^2 - 5xy - 6y^2)$

となります。

括弧の中の２次式を因数分解します。

$4x^2 - 5xy - 6y^2 = (4x+3y)(x-2y)$

したがって、

$4x^3 - 5x^2y - 6xy^2 = x(4x+3y)(x-2y)$

(2)

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 + 2ac - 2bd$ を因数分解します。

$a^2 + 2ac + c^2 - (b^2 + 2bd + d^2)$

$(a+c)^2 - (b+d)^2$

和と差の積の形に因数分解すると

$(a+c+b+d)(a+c-b-d)$

$(a+b+c+d)(a-b+c-d)$

(3)

$2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6$ を因数分解します。

$2x^2 + xy - 6y^2$ の部分を因数分解すると $(2x-3y)(x+2y)$

より、

$(2x-3y+a)(x+2y+b)$ とおいて展開すると、

$2x^2 + xy - 6y^2 + (a+2b)x + (2a-3b)y + ab$

となる。

$a+2b = 4$ かつ $2a-3b = -13$ を満たす $a, b$ を求める。

$2a+4b = 8$

$2a-3b = -13$

辺々引くと、

$7b = 21$ より $b=3$

$a+2(3) = 4$ より $a = -2$

$ab = (-2)(3) = -6$ となり、定数項も一致する。

したがって、

$2x^2 + xy - 6y^2 + 4x - 13y - 6 = (2x-3y-2)(x+2y+3)$

(4)

$x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z$ を因数分解します。

$x^2(y+z) - y^2(x+z)$

$(y+z)x^2 - (x+z)y^2$

$x^2y + x^2z - xy^2 - y^2z = x^2y - xy^2 + x^2z - y^2z$

$= xy(x-y) + z(x^2 - y^2)$

$= xy(x-y) + z(x-y)(x+y)$

$= (x-y)(xy + zx + zy)$

$= (x-y)(xy + xz + yz)$

(5)

$x^6 + 7x^3 - 8$ を因数分解します。

$x^3 = t$ と置換すると、

$t^2 + 7t - 8 = (t+8)(t-1)$

$(x^3+8)(x^3-1)$

$(x+2)(x^2-2x+4)(x-1)(x^2+x+1)$

$(x+2)(x-1)(x^2-2x+4)(x^2+x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $x(4x+3y)(x-2y)$

(2) $(a+b+c+d)(a-b+c-d)$

(3) $(2x-3y-2)(x+2y+3)$

(4) $(x-y)(xy+xz+yz)$

(5) $(x+2)(x-1)(x^2-2x+4)(x^2+x+1)$