与えられた3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{1/x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x}$ (3) $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{2}{n})^n$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{1/x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{2}{n})^n$

2. 解き方の手順

(1) $y = (1+ax)^{1/x}$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\log y = \frac{1}{x} \log (1+ax)$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1+ax)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log (1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1+ax}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1+ax} = a$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = a$ となるので、$\lim_{x \to 0} y = e^a$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1+2x}{1+x+x^2}}{5} = \lim_{x \to 0} \frac{1+2x}{5(1+x+x^2)} = \frac{1+0}{5(1+0+0)} = \frac{1}{5}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{2}{n})^n$ は、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a$ という公式を使うことができます。

したがって、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{2}{n})^n = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $e^a$

(2) $\frac{1}{5}$

(3) $e^2$