与えられた数列の和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k)$

## 問題 1

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k)$

2. 解き方の手順

数列の和の公式を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

上記の公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

## 問題 2

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2)$

2. 解き方の手順

数列の和の公式を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2) = 3 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - n(n+1) + 4n}{2}$

$= \frac{n((n+1)(2n+1) - (n+1) + 4)}{2}$

$= \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - n - 1 + 4)}{2}$

$= \frac{n(2n^2 + 2n + 4)}{2}$

$= \frac{2n(n^2 + n + 2)}{2}$

$= n(n^2 + n + 2)$

3. 最終的な答え

$n(n^2 + n + 2)$