$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos{t} \cos{3t} \, dt$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos{t} \cos{3t} \, dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積を和に変換する公式を利用します。

$\cos{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\cos{(A-B)} + \cos{(A+B)}]$

この公式を適用すると、

$\cos{t}\cos{3t} = \frac{1}{2}[\cos{(t-3t)} + \cos{(t+3t)}] = \frac{1}{2}[\cos{(-2t)} + \cos{(4t)}] = \frac{1}{2}[\cos{2t} + \cos{4t}]$

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos{t} \cos{3t} \, dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \frac{1}{2}[\cos{2t} + \cos{4t}] \, dt$

$= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\cos{2t} + \cos{4t}) \, dt$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin{2t} + \frac{1}{4}\sin{4t}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin{(\frac{5\pi}{3})} + \frac{1}{4}\sin{(\frac{10\pi}{3})} - (\frac{1}{2}\sin{(\frac{\pi}{3})} + \frac{1}{4}\sin{(\frac{2\pi}{3})})]$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}))]$

$= \frac{1}{2} [-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8}]$

$= \frac{1}{2} [-\frac{\sqrt{3}}{2}]$

$= -\frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{4}$