次の3つの関数について、増減と凹凸を調べ、グラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{x^3}{x^2+1}$ (2) $y = \sqrt{\log x}$ ($x > 0$) (3) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、増減と凹凸を調べ、グラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{x^3}{x^2+1}$

(2) $y = \sqrt{\log x}$ ($x > 0$)

(3) $y = e^{-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^3}{x^2+1}$

* **定義域**: 全ての実数

* **導関数 $y'$ の計算**:

$y' = \frac{3x^2(x^2+1) - x^3(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$

* **増減表**:

$y'=0$ となるのは $x=0$ のときのみ。また、$y' \geq 0$ なので、単調増加関数である。

| x | ... | 0 | ... |

| :--- | :---- | :- | :---- |

| y' | + | 0 | + |

| y | 増加 | 0 | 増加 |

* **2階導関数 $y''$ の計算**:

$y'' = \frac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2 - (x^4+3x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{(4x^3+6x)(x^2+1) - 4x(x^4+3x^2)}{(x^2+1)^3} = \frac{4x^5 + 4x^3 + 6x^3 + 6x - 4x^5 - 12x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3 + 6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(-x^2+3)}{(x^2+1)^3}$

* **凹凸**:

$y''=0$ となるのは $x=0, \pm\sqrt{3}$ のとき。

| x | ... | $-\sqrt{3}$ | ... | 0 | ... | $\sqrt{3}$ | ... |

| :--- | :---- | :---------- | :--- | :- | :--- | :---------- | :---- |

| y'' | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 凸 | 変曲点 | 凹 | 変曲点 | 凸 | 変曲点 | 凹 |

* **グラフの漸近線**:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2+1} -x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 - x}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x^2+1} = 0$

したがって、$y=x$ が漸近線である。

(2) $y = \sqrt{\log x}$ ($x > 0$)

* **定義域**: $\log x \geq 0$ より、$x \geq 1$

* **導関数 $y'$ の計算**:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\log x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\log x}}$

* **増減表**:

$x \geq 1$ の範囲で $y' > 0$ なので、単調増加。

| x | 1 | ... |

| :--- | :- | :---- |

| y' | $\infty$ | + |

| y | 0 | 増加 |

* **2階導関数 $y''$ の計算**:

$y'' = -\frac{(2x\sqrt{\log x})'}{(2x\sqrt{\log x})^2} = -\frac{2\sqrt{\log x} + 2x \frac{1}{2\sqrt{\log x}} \cdot \frac{1}{x}}{4x^2 \log x} = -\frac{2\sqrt{\log x} + \frac{1}{\sqrt{\log x}}}{4x^2 \log x} = -\frac{2\log x + 1}{4x^2 (\log x)^{3/2}}$

* **凹凸**:

$x \geq 1$ の範囲で、$y'' < 0$ なので、常に上に凸である。

(3) $y = e^{-x^2}$

* **定義域**: 全ての実数

* **導関数 $y'$ の計算**:

$y' = -2xe^{-x^2}$

* **増減表**:

$y' = 0$ となるのは $x=0$ のとき。

| x | ... | 0 | ... |

| :--- | :---- | :- | :---- |

| y' | + | 0 | - |

| y | 増加 | 1 | 減少 |

* **2階導関数 $y''$ の計算**:

$y'' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (-2 + 4x^2)e^{-x^2} = 2(2x^2 - 1)e^{-x^2}$

* **凹凸**:

$y'' = 0$ となるのは $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき。

| x | ... | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | ... | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | ... |

| :--- | :---- | :-------------------- | :--- | :-------------------- | :---- |

| y'' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 凸 | 変曲点 | 凹 | 変曲点 | 凸 |

* **グラフの漸近線**:

$\lim_{x \to \pm \infty} e^{-x^2} = 0$

したがって、$y=0$ が漸近線である。

3. 最終的な答え

各関数の増減・凹凸は上記に記載の通りです。これらの情報をもとにグラフを描画してください。

グラフを描く際は、以下の点に注意すると良いでしょう。

- 関数の定義域

- 軸との交点

- 極値

- 凹凸

- 漸近線