2次方程式 $2x^2 - 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を $5x^2 - \boxed{}x + \boxed{} = 0$ の形で求め、さらに、$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解とする2次方程式を $4x^2 + \boxed{}x + \boxed{} = 0$ の形で求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。このとき、$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を $5x^2 - \boxed{}x + \boxed{} = 0$ の形で求め、さらに、$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解とする2次方程式を $4x^2 + \boxed{}x + \boxed{} = 0$ の形で求める。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $2x^2 - 3x + 5 = 0$ について、解と係数の関係から、

$$\alpha + \beta = \frac{3}{2}$$

$$\alpha\beta = \frac{5}{2}$$

である。

次に、$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を考える。$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ の和と積は、

$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$$

したがって、$\frac{1}{\alpha}$ と $\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式の一つは、

$$x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5} = 0$$

両辺に5を掛けて、

$$5x^2 - 3x + 2 = 0$$

次に、$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解とする2次方程式を考える。$\alpha^2$ と $\beta^2$ の和と積は、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (\frac{3}{2})^2 - 2(\frac{5}{2}) = \frac{9}{4} - 5 = \frac{9 - 20}{4} = -\frac{11}{4}$$

$$\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$$

したがって、$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解とする2次方程式の一つは、

$$x^2 + \frac{11}{4}x + \frac{25}{4} = 0$$

両辺に4を掛けて、

$$4x^2 + 11x + 25 = 0$$

3. 最終的な答え

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

$4x^2 + 11x + 25 = 0$