次の計算問題を解きます。 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}} + \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}$

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}} + \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を有理化します。

$\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2}\sqrt{3}$であることに注意します。

一つ目の分数の分母と分子に $2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = 2(\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}\sqrt{6} - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{6} = 6 - \sqrt{18} - 2\sqrt{6} + \sqrt{12} = 6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 3 - 6 = 12 - 6 = 6$

したがって、

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、二つ目の分数の分母と分子に $2\sqrt{3} + \sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{6})(2\sqrt{3} + \sqrt{6})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) = 2(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{6} = 6 + \sqrt{18} + 2\sqrt{6} + \sqrt{12} = 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$

分母を展開すると先程と同様に 6 になります。したがって、

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{6}} = \frac{6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

これらを足し合わせると、

$(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$