$x = \sqrt{5} + 2$ と $y = \sqrt{5} - 2$ が与えられたとき、次の式の値を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$ (3) $x^5 + y^5$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + 2$ と $y = \sqrt{5} - 2$ が与えられたとき、次の式の値を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 + y^3$

(3) $x^5 + y^5$

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x+y = (\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5}$

$xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

(1) $x^2 + y^2$ の計算

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(1) = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

(2) $x^3 + y^3$ の計算

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x^3 + y^3 = (2\sqrt{5})((2\sqrt{5})^2 - 3(1)) = (2\sqrt{5})(20 - 3) = (2\sqrt{5})(17) = 34\sqrt{5}$

(3) $x^5 + y^5$ の計算

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$

$x^5 + y^5 = (18)(34\sqrt{5}) - (1)^2(2\sqrt{5})$

$x^5 + y^5 = 612\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 610\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 18$

(2) $x^3 + y^3 = 34\sqrt{5}$

(3) $x^5 + y^5 = 610\sqrt{5}$