実数 $x$ に対して、不等式 $|x-1| > 1$ であることが、$x < 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを問う問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、不等式 $|x-1| > 1$ であることが、$x < 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-1| > 1$ を解きます。これは、$x-1 > 1$ または $x-1 < -1$ を意味します。

$x-1 > 1$ を解くと、$x > 2$ となります。

$x-1 < -1$ を解くと、$x < 0$ となります。

したがって、$|x-1| > 1$ は、$x < 0$ または $x > 2$ と同値です。

次に、条件 $P$: $|x-1| > 1$ と条件 $Q$: $x < 0$ の関係を調べます。

$P$ は $x < 0$ または $x > 2$ であり、$Q$ は $x < 0$ です。

$P$ ならば $Q$ (十分条件): $|x-1| > 1$ ならば $x < 0$ かどうかを考えます。$x > 2$ のとき $|x-1| > 1$ を満たしますが、$x < 0$ は満たしません。したがって、$P$ ならば $Q$ は成り立ちません。つまり、$|x-1| > 1$ は $x < 0$ であるための十分条件ではありません。

$Q$ ならば $P$ (必要条件): $x < 0$ ならば $|x-1| > 1$ かどうかを考えます。$x < 0$ ならば、$|x-1| > 1$ が成り立ちます。なぜなら、$x < 0$ は $|x-1| > 1$ の解の一つだからです。したがって、$Q$ ならば $P$ は成り立ちます。つまり、$|x-1| > 1$ は $x < 0$ であるための必要条件です。

したがって、$|x-1| > 1$ は $x < 0$ であるための必要条件であるが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件であるが十分条件ではない