## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題用紙に書かれた数学の問題を解くように指示されています。今回は、以下の問題に解答します。

**問題1:** $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表せ。

**問題2:** 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3} - 2)x < -1 \\ |1 - x| \geq 3 \end{cases}$ を解け。

**問題3:** $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$, $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x + y$, $xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3 + y^3$

**問題4:** $x + y + z = 3$, $xy + yz + zx = -5$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ の値を求めよ。

**問題5:** $\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする。

(1) $a$, $b$ の値を求めよ。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めよ。

**問題6:** $a$ を正の定数とする。不等式 $|x - 2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

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2. 解き方の手順

**問題1:**

* 根号の中身を因数分解します。

* $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

* $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

* 平方根を外します。

* $\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$

* $\sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$

* 絶対値記号を外すために場合分けをします。

* (i) $x < -2$ のとき、 $|x - 5| = -(x - 5)$, $|x + 2| = -(x + 2)$ なので、$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = -(x - 5) - (x + 2) = -2x + 3$

* (ii) $-2 \leq x < 5$ のとき、 $|x - 5| = -(x - 5)$, $|x + 2| = x + 2$ なので、$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = -(x - 5) + (x + 2) = 7$

* (iii) $x \geq 5$ のとき、 $|x - 5| = x - 5$, $|x + 2| = x + 2$ なので、$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = (x - 5) + (x + 2) = 2x - 3$

**問題2:**

* 1つ目の不等式を解きます。$(\sqrt{3} - 2)x < -1$。$\sqrt{3} - 2 < 0$ なので、両辺を $\sqrt{3} - 2$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x > \frac{-1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{-1(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{-(\sqrt{3} + 2)}{3 - 4} = \sqrt{3} + 2$

* 2つ目の不等式を解きます。$|1 - x| \geq 3$。

* (i) $1 - x \geq 3$ のとき、$-x \geq 2$ なので、$x \leq -2$

* (ii) $1 - x \leq -3$ のとき、$-x \leq -4$ なので、$x \geq 4$

* 2つの不等式の解をまとめます。$x > \sqrt{3} + 2$、 $x \leq -2$ または $x \geq 4$。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$\sqrt{3} + 2 \approx 3.732$。よって、解は $x \leq -2$ または $x \geq 4$となります。

**問題3:**

(1)

* $x + y = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} + \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2 + (3 - \sqrt{5})^2}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5 + 9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{28}{4} = 7$

* $xy = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = 1$

(2)

* $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

(3)

* $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

(4)

* $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = 7(7^2 - 3(1)) = 7(49 - 3) = 7(46) = 322$

**問題4:**

* $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ の関係式を利用します。

* $3^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-5)$

* $9 = x^2 + y^2 + z^2 - 10$

* $x^2 + y^2 + z^2 = 19$

**問題5:**

(1)

* $\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 2(1.732) = 3.464$

* $\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \approx 6(1.732) = 10.392$

* $\sqrt{12} - \sqrt{108} \approx 3.464 - 10.392 = -6.928$

* 整数部分 $a = -7$

* 小数部分 $b = (\sqrt{12} - \sqrt{108}) - a = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 7 = 7 - 4\sqrt{3}$

(2)

* $b = 7 - 4\sqrt{3}$

* $\frac{1}{b} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-16(3)} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$

* $b + \frac{1}{b} = (7-4\sqrt{3}) + (7+4\sqrt{3}) = 14$

* $b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b}) = 14^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

**問題6:**

* $|x - 2| < a$ は $-a < x - 2 < a$ と同値です。

* $2 - a < x < 2 + a$

* この範囲に含まれる整数が5個であるためには、整数が $2 - 2, 2 - 1, 2, 2 + 1, 2 + 2$ である必要があります。つまり、$x = 0, 1, 2, 3, 4$ を含む必要があります。

* $2 - a < 0$ かつ $4 < 2 + a$ である必要があり、さらに $5$を含まない必要があります。すなわち $2 - a \geq -1$ を満たさなければなりません。

* $0 < a \leq 3$を満たさなければなりません。

* $a = 2.5$ の場合、 $-0.5 < x < 4.5$ となり、$x = 0, 1, 2, 3, 4$ の5個の整数を含みます。$a=3$の場合，$-1<x<5$となるため、5個の整数を含むという条件に合致します。$a = 3.1$の場合、$-1.1 <x<5.1$となり、$x = -1,0, 1, 2, 3, 4, 5$ の7個の整数が含まれてしまい条件に合致しません。

* $2 - a < -1$となる$a$は$a>3$を満たすため条件に合致しません。

* $4 < 2 + a$より、$a > 2$

* $5 \geq 2 + a$より、$a \leq 3$

* したがって、$2 < a \leq 3$ となります。

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3. 最終的な答え

**問題1:**

* $x < -2$ のとき、$-2x + 3$

* $-2 \leq x < 5$ のとき、7

* $x \geq 5$ のとき、$2x - 3$

**問題2:**

* $x \leq -2$ または $x \geq 4$

**問題3:**

(1) $x + y = 7$, $xy = 1$

(2) $x^2 + y^2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$

(4) $x^3 + y^3 = 322$

**問題4:**

* $x^2 + y^2 + z^2 = 19$

**問題5:**

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$

**問題6:**

* $2 < a \leq 3$