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$x+y+z = 3$、 $xy+yz+zx = -5$のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。

代数学対称式式の展開二次形式
2025/6/3

1. 問題の内容

x+y+z=3x+y+z = 3、 xy+yz+zx=−5xy+yz+zx = -5のとき、x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、(x+y+z)2 (x+y+z)^2 を展開すると、次のようになります。
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)
与えられた条件、x+y+z=3x+y+z = 3 および xy+yz+zx=−5xy+yz+zx = -5 を上記の式に代入します。
(3)2=x2+y2+z2+2(−5)(3)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-5)
9=x2+y2+z2−109 = x^2 + y^2 + z^2 - 10
したがって、x2+y2+z2x^2 + y^2 + z^2 は次のようになります。
x2+y2+z2=9+10x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 10
x2+y2+z2=19x^2 + y^2 + z^2 = 19

3. 最終的な答え

19

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