整数 $m$ について、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数であることを利用して、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

整数 $m$ について、$m^2$ が 5 の倍数ならば $m$ は 5 の倍数であることを利用して、$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{5}$ が無理数であることを背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。

このとき、互いに素な整数 $p, q$ ($q \neq 0$) を用いて、

$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$

と表すことができます。

(2) 両辺を 2 乗すると、

$5 = \frac{p^2}{q^2}$

したがって、

$p^2 = 5q^2$

となります。

(3) この式から、$p^2$ は 5 の倍数であることがわかります。

問題文より、$p^2$ が 5 の倍数ならば、$p$ は 5 の倍数です。

したがって、$p = 5k$ ( $k$ は整数) と表すことができます。

(4) $p = 5k$ を $p^2 = 5q^2$ に代入すると、

$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

$5k^2 = q^2$

となります。

(5) この式から、$q^2$ は 5 の倍数であることがわかります。

したがって、$q$ も 5 の倍数です。

(6) $p$ も $q$ も 5 の倍数であるため、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt{5}$ が有理数であるという仮定は誤りです。

(7) したがって、$\sqrt{5}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$ は無理数である。