放物線 $y = -2x^2$ を平行移動して、頂点が指定された点となるようにする。それぞれのケースについて、移動後の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動して、頂点が指定された点となるようにする。それぞれのケースについて、移動後の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線の平行移動は、頂点の移動に対応する。

元の放物線 $y = -2x^2$ の頂点は原点 $(0, 0)$ である。

(1) 頂点が $(1, -3)$ となる場合

$x$軸方向に1、 $y$軸方向に-3平行移動する。したがって、放物線の方程式は

$y = -2(x - 1)^2 - 3$

展開して整理すると、

$y = -2(x^2 - 2x + 1) - 3 = -2x^2 + 4x - 2 - 3 = -2x^2 + 4x - 5$

(2) 頂点が $(-2, 5)$ となる場合

$x$軸方向に-2、 $y$軸方向に5平行移動する。したがって、放物線の方程式は

$y = -2(x - (-2))^2 + 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 5$

展開して整理すると、

$y = -2(x^2 + 4x + 4) + 5 = -2x^2 - 8x - 8 + 5 = -2x^2 - 8x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 4x - 5$

(2) $y = -2x^2 - 8x - 3$