与えられた4つの2次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}$

- まず平方完成を行います。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$

- 軸は $x = -1$ です。

- 頂点は $(-1, 0)$ です。

(2) $y = -3x^2 + 3x + \frac{1}{4}$

- 平方完成を行います。

$y = -3(x^2 - x) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$y = -3(x - \frac{1}{2})^2 + 1$

- 軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

- 頂点は $(\frac{1}{2}, 1)$ です。

(3) $y = (x - 1)(x - 5)$

- まず展開します。

$y = x^2 - 6x + 5$

- 平方完成を行います。

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x - 3)^2 - 4$

- 軸は $x = 3$ です。

- 頂点は $(3, -4)$ です。

(4) $y = (2x - 1)(x + 3)$

- まず展開します。

$y = 2x^2 + 6x - x - 3$

$y = 2x^2 + 5x - 3$

- 平方完成を行います。

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16}) - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - \frac{24}{8}$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{49}{8}$

- 軸は $x = -\frac{5}{4}$ です。

- 頂点は $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$ です。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, 0)$

(2) 軸: $x = \frac{1}{2}$, 頂点: $(\frac{1}{2}, 1)$

(3) 軸: $x = 3$, 頂点: $(3, -4)$

(4) 軸: $x = -\frac{5}{4}$, 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$