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問題11：$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{7}$, $\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}$, $\tan \gamma = 2 - \sqrt{3}$である。このとき、$\alpha + \beta$ および $\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める。 問題12：関数 $y = -\sqrt{3} \sin x + \cos x$ の最大値と最小値を求める。 問題13：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta$ を解く。 問題14：関数 $f(\theta) = a \cos^2 \theta + (a - b) \sin \theta \cos \theta + b \sin^2 \theta$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて表す。 (2) $f(\theta)$ の最大値が $3 + \sqrt{7}$、最小値が $3 - \sqrt{7}$ となるように、$a$ と $b$ の値を定める。

解析学三角関数加法定理最大値最小値三角不等式
2025/6/1

1. 問題の内容

問題11：α,β,γ\alpha, \beta, \gamma は鋭角であり、tan⁡α=37\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{7}, tan⁡β=36\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}, tan⁡γ=2−3\tan \gamma = 2 - \sqrt{3}である。このとき、α+β\alpha + \beta および α+β+γ\alpha + \beta + \gamma の値を求める。
問題12：関数 y=−3sin⁡x+cos⁡xy = -\sqrt{3} \sin x + \cos x の最大値と最小値を求める。
問題13：0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、不等式 sin⁡2θ<3cos⁡θ\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta を解く。
問題14：関数 f(θ)=acos⁡2θ+(a−b)sin⁡θcos⁡θ+bsin⁡2θf(\theta) = a \cos^2 \theta + (a - b) \sin \theta \cos \theta + b \sin^2 \theta について、以下の問いに答える。
(1) f(θ)f(\theta) を sin⁡2θ\sin 2\theta と cos⁡2θ\cos 2\theta を用いて表す。
(2) f(θ)f(\theta) の最大値が 3+73 + \sqrt{7}、最小値が 3−73 - \sqrt{7} となるように、aa と bb の値を定める。

2. 解き方の手順

問題11：
(1) tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=37+361−37⋅36=63+73421−342=133423942=13339=33=13\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{7} + \frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}} = \frac{\frac{6\sqrt{3} + 7\sqrt{3}}{42}}{1 - \frac{3}{42}} = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{42}}{\frac{39}{42}} = \frac{13\sqrt{3}}{39} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}。
α,β\alpha, \beta は鋭角なので、α+β\alpha + \beta も鋭角である。従って、α+β=π6\alpha + \beta = \frac{\pi}{6} (30度)。
(2) tan⁡γ=2−3\tan \gamma = 2 - \sqrt{3} なので、γ=π12\gamma = \frac{\pi}{12} (15度)。
よって、α+β+γ=π6+π12=2π+π12=3π12=π4\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi + \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} (45度)。
問題12：
y=−3sin⁡x+cos⁡x=2(−32sin⁡x+12cos⁡x)=2(cos⁡5π6sin⁡x+sin⁡5π6cos⁡x)=2sin⁡(x+5π6)y = -\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x) = 2(\cos \frac{5\pi}{6} \sin x + \sin \frac{5\pi}{6} \cos x) = 2 \sin(x + \frac{5\pi}{6})。
−1≤sin⁡(x+5π6)≤1-1 \le \sin(x + \frac{5\pi}{6}) \le 1 なので、−2≤y≤2-2 \le y \le 2。
最大値は 2、最小値は -2。
問題13：
sin⁡2θ<3cos⁡θ\sin 2\theta < \sqrt{3} \cos \theta
2sin⁡θcos⁡θ<3cos⁡θ2 \sin \theta \cos \theta < \sqrt{3} \cos \theta
2sin⁡θcos⁡θ−3cos⁡θ<02 \sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos \theta < 0
cos⁡θ(2sin⁡θ−3)<0\cos \theta (2 \sin \theta - \sqrt{3}) < 0
cos⁡θ>0\cos \theta > 0 かつ 2sin⁡θ−3<02 \sin \theta - \sqrt{3} < 0 のとき:
cos⁡θ>0\cos \theta > 0 より 0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi。
2sin⁡θ<32 \sin \theta < \sqrt{3} より sin⁡θ<32\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}。
よって、θ\theta の範囲は 0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3} または 2π3<θ<2π\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi。
この場合、0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi。
cos⁡θ<0\cos \theta < 0 かつ 2sin⁡θ−3>02 \sin \theta - \sqrt{3} > 0 のとき:
cos⁡θ<0\cos \theta < 0 より π2<θ<3π2\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}。
2sin⁡θ>32 \sin \theta > \sqrt{3} より sin⁡θ>32\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}。
よって、θ\theta の範囲は π3<θ<2π3\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}。
この場合、π2<θ<2π3\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}。
最終的に、θ\theta の範囲は 0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3} または π2<θ<2π3\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi。
問題14：
(1) f(θ)=acos⁡2θ+(a−b)sin⁡θcos⁡θ+bsin⁡2θ=a1+cos⁡2θ2+(a−b)sin⁡2θ2+b1−cos⁡2θ2=a+acos⁡2θ+(a−b)sin⁡2θ+b−bcos⁡2θ2=a+b2+a−b2cos⁡2θ+a−b2sin⁡2θf(\theta) = a \cos^2 \theta + (a - b) \sin \theta \cos \theta + b \sin^2 \theta = a \frac{1 + \cos 2\theta}{2} + (a - b) \frac{\sin 2\theta}{2} + b \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{a + a\cos 2\theta + (a - b)\sin 2\theta + b - b\cos 2\theta}{2} = \frac{a+b}{2} + \frac{a - b}{2} \cos 2\theta + \frac{a - b}{2} \sin 2\theta。
(2) f(θ)=a+b2+a−b2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=a+b2+a−b22sin⁡(2θ+π4)f(\theta) = \frac{a+b}{2} + \frac{a - b}{2} (\cos 2\theta + \sin 2\theta) = \frac{a+b}{2} + \frac{a - b}{2} \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})。
f(θ)f(\theta) の最大値は a+b2+∣a−b∣2\frac{a+b}{2} + \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} で、3+73 + \sqrt{7}。
f(θ)f(\theta) の最小値は a+b2−∣a−b∣2\frac{a+b}{2} - \frac{|a - b|}{\sqrt{2}} で、3−73 - \sqrt{7}。
∣a−b∣2=7\frac{|a-b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{7}。 よって、 ∣a−b∣=14|a-b| = \sqrt{14}。
a+b2=3\frac{a+b}{2} = 3。 よって、 a+b=6a+b = 6。
a−b=14a - b = \sqrt{14} のとき、2a=6+142a = 6 + \sqrt{14} なので、a=3+142a = 3 + \frac{\sqrt{14}}{2}。 b=3−142b = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}。
a−b=−14a - b = -\sqrt{14} のとき、2a=6−142a = 6 - \sqrt{14} なので、a=3−142a = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}。 b=3+142b = 3 + \frac{\sqrt{14}}{2}。

3. 最終的な答え

問題11：
(1) α+β=π6\alpha + \beta = \frac{\pi}{6} (30度)
(2) α+β+γ=π4\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} (45度)
問題12：
最大値：2
最小値：-2
問題13：
0≤θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3} または π2<θ<2π3\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi
問題14：
(1) f(θ)=a+b2+a−b2cos⁡2θ+a−b2sin⁡2θf(\theta) = \frac{a+b}{2} + \frac{a - b}{2} \cos 2\theta + \frac{a - b}{2} \sin 2\theta
(2) (a,b)=(3+142,3−142)(a, b) = (3 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}) または (a,b)=(3−142,3+142)(a, b) = (3 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{14}}{2})

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