## 102. 問題の内容

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2. 問題の内容

初項1の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2の等比数列 $\{b_n\}$ に対し、$c_n = a_n + b_n$ とおく。$c_2 = 9, c_3 = 23, c_4 = 61$ のとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

## 解き方の手順

1. 等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = 1 + (n-1)d$ とおく。ここで、$d$ は公差である。

2. 等比数列 $\{b_n\}$ の一般項を $b_n = 2r^{n-1}$ とおく。ここで、$r$ は公比である。

3. $c_n = a_n + b_n = 1 + (n-1)d + 2r^{n-1}$ である。

4. $c_2 = 9, c_3 = 23, c_4 = 61$ より、以下の連立方程式が得られる。

$c_2 = 1 + d + 2r = 9$

$c_3 = 1 + 2d + 2r^2 = 23$

$c_4 = 1 + 3d + 2r^3 = 61$

5. 上記の連立方程式を解く。

最初の式から $d = 8 - 2r$ が得られる。

これを二番目の式に代入すると、

$1 + 2(8 - 2r) + 2r^2 = 23$

$1 + 16 - 4r + 2r^2 = 23$

$2r^2 - 4r - 6 = 0$

$r^2 - 2r - 3 = 0$

$(r-3)(r+1) = 0$

$r = 3, -1$

6. $r=3$ のとき、$d = 8 - 2(3) = 2$

$r=-1$ のとき、$d = 8 - 2(-1) = 10$

7. $r=3, d=2$ のとき、$c_n = 1 + (n-1)2 + 2(3^{n-1}) = 1 + 2n - 2 + 2(3^{n-1}) = 2n - 1 + 2(3^{n-1})$

$c_2 = 2(2) - 1 + 2(3) = 3 + 6 = 9$

$c_3 = 2(3) - 1 + 2(3^2) = 5 + 18 = 23$

$c_4 = 2(4) - 1 + 2(3^3) = 7 + 54 = 61$

よって、$c_n = 2n - 1 + 2(3^{n-1})$

8. $r=-1, d=10$ のとき、$c_n = 1 + (n-1)10 + 2(-1)^{n-1} = 1 + 10n - 10 + 2(-1)^{n-1} = 10n - 9 + 2(-1)^{n-1}$

$c_2 = 10(2) - 9 + 2(-1) = 20 - 9 - 2 = 9$

$c_3 = 10(3) - 9 + 2(1) = 30 - 9 + 2 = 23$

$c_4 = 10(4) - 9 + 2(-1) = 40 - 9 - 2 = 29 \ne 61$

よって、これは条件を満たさない。

## 最終的な答え

$c_n = 2n - 1 + 2(3^{n-1})$