関数 $y = \cos^2(2x)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2(2x)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = \cos^2(2x)$ を微分するには、合成関数の微分（チェインルール）を使います。

まず、$u = \cos(2x)$ とおくと、$y = u^2$ となります。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = -2\sin(2x)$

チェインルールより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-2\sin(2x))$

$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x) \cdot (-2\sin(2x))$

$\frac{dy}{dx} = -4\cos(2x)\sin(2x)$

ここで、三角関数の2倍角の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -2(2\sin(2x)\cos(2x))$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin(4x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2\sin(4x)$