関数 $y = (e^{x^2} + 1)^3$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (e^{x^2} + 1)^3$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。まず、$u = e^{x^2} + 1$ とおくと、$y = u^3$となる。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に、$v = x^2$ とおくと、$u = e^v + 1$となる。

$\frac{du}{dv} = e^v$

そして、$\frac{dv}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$= 3u^2 \cdot e^v \cdot 2x$

$= 3(e^{x^2} + 1)^2 \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

$= 6x(e^{x^2} + 1)^2 e^{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 6x(e^{x^2} + 1)^2 e^{x^2}$