与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$ を因数分解する問題です。

## 問題16

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の項が打ち消し合うように因数を組み合わせて展開します。

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 = \{(x+1)(x+3)\}\{(x-2)(x-4)\}+24$

$= (x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8)+24$

ここで、$x^2+4x = A$ とおくと

$(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 6x + 8)+24 = (A+3)(A-10x+8) + 24$ となり、うまくいきません。

別の組み合わせを試します。

$(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)+24 = (x^2 -3x -4)(x^2 + x -6) + 24$

ここで、$x^2-x = B$ とおくと

$(x^2 -3x -4)(x^2 + x -6) + 24 = (B - 2x -4)(B + 2x -6) + 24$

$= B^2 -2Bx - 4B + 2Bx - 4x^2 -8x - 6B + 12x + 24 + 24$

$= B^2 - 4x^2 - 10B + 4x + 48$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 = \{(x+1)(x-2)\}\{(x+3)(x-4)\}+24 = (x^2 -x -2)(x^2 -x -12)+24$

ここで $x^2-x = t$ と置換すると、

$(t-2)(t-12)+24 = t^2 -14t + 24+24 = t^2 -14t + 48 = (t-6)(t-8)$.

$t = x^2-x$ を代入すると、

$(x^2-x-6)(x^2-x-8) = (x-3)(x+2)(x^2-x-8)$.

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+2)(x^2-x-8)$

## 問題17

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

次に、$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)\{a^2 + a(b+c) + bc\}$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)\{a(a+b) + c(a+b)\} = (b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$