2桁の自然数があり、その数は十の位の数と一の位の数の和の8倍に等しい。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の自然数は、元の数よりも45小さい。元の2桁の自然数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数があり、その数は十の位の数と一の位の数の和の8倍に等しい。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の自然数は、元の数よりも45小さい。元の2桁の自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 元の2桁の自然数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とすると、元の自然数は $10x + y$ と表せる。

(2) 問題文より、$10x + y = 8(x + y)$ が成り立つ。これを整理すると、

$10x + y = 8x + 8y$

$2x = 7y$

(3) 十の位と一の位を入れ替えた数は、$10y + x$ と表せる。問題文より、$10y + x = 10x + y - 45$ が成り立つ。これを整理すると、

$9y - 9x = -45$

$x - y = 5$

(4) $2x = 7y$ と $x - y = 5$ の連立方程式を解く。$x = y + 5$ を $2x = 7y$ に代入すると、

$2(y + 5) = 7y$

$2y + 10 = 7y$

$5y = 10$

$y = 2$

(5) $y = 2$ を $x = y + 5$ に代入すると、$x = 2 + 5 = 7$

(6) よって、元の2桁の自然数は $10x + y = 10 \cdot 7 + 2 = 72$ である。

3. 最終的な答え

72