原点にある点Pが、サイコロを1回投げるごとにルールに従って移動する。サイコロを2回投げた後、点Pが点(2,2)にある確率を求める。 ルールは以下の通り： * 1または2の目が出たとき、x軸の正の方向に1だけ移動 * 3または4の目が出たとき、y軸の正の方向に1だけ移動 * 5の目が出たとき、x軸の正の方向に1だけ移動し、さらにy軸の正の方向に1だけ移動 * 6の目が出たとき、移動しない

1. 問題の内容

原点にある点Pが、サイコロを1回投げるごとにルールに従って移動する。サイコロを2回投げた後、点Pが点(2,2)にある確率を求める。

ルールは以下の通り：

* 1または2の目が出たとき、x軸の正の方向に1だけ移動

* 3または4の目が出たとき、y軸の正の方向に1だけ移動

* 5の目が出たとき、x軸の正の方向に1だけ移動し、さらにy軸の正の方向に1だけ移動

* 6の目が出たとき、移動しない

2. 解き方の手順

2回サイコロを投げた結果、点Pが(2,2)に到達するパターンを考える。

サイコロの目の出方を(1回目の目、2回目の目)で表す。各目の出る確率は1/6である。

考えられるパターンは以下の通り。

* (1または2, 1または2, 3または4, 3または4): 1回目にx方向に1進み、2回目にx方向に1進み、y方向に1進み、y方向に1進む。

確率: $(\frac{2}{6}) \times (\frac{2}{6}) + (\frac{2}{6}) \times (\frac{2}{6})+ (\frac{2}{6}) \times (\frac{2}{6})+ (\frac{2}{6}) \times (\frac{2}{6}) = \frac{16}{36}$.

* (1または2, 5): 1回目にx方向に1進み、2回目にx方向とy方向に1進む。

確率: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{36}$.

* (5, 1または2): 1回目にx方向とy方向に1進み、2回目にx方向に1進む。

確率: $\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{36}$.

* (3または4, 5): 1回目にy方向に1進み、2回目にx方向とy方向に1進む。この組み合わせでは(2,2)にたどり着けない

* (5, 3または4): 1回目にx方向とy方向に1進み、2回目にy方向に1進む。この組み合わせでは(2,2)にたどり着けない

* (5, 5): 1回目にx方向とy方向に1進み、2回目にx方向とy方向に1進む。

確率: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

x方向に2, y方向に2進む

* (x,y)=((1,2),(2,1),(5,5))に限定する。

* (1または2, 1または2, 3または4, 3または4)を考察する場合。

1回目x方向2回目y方向または1回目y方向2回目x方向をそれぞれ2つのサイコロの確率で考える

(1 or 2, 3 or 4), (3 or 4, 1 or 2)の場合があり、それぞれに$(\frac{2}{6}) \times (\frac{2}{6})=\frac{4}{36}$となるので合計$\frac{8}{36}$となる。

(1 or 2, 5), (5, 1 or 2)の場合があり、それぞれに$(\frac{2}{6}) \times (\frac{1}{6})=\frac{2}{36}$となるので合計$\frac{4}{36}$となる。

(3 or 4, 5), (5, 3 or 4)の場合があり、これらは(2,2)にならない

(5,5)の場合、$(\frac{1}{6})\times(\frac{1}{6})=\frac{1}{36}$

上記パターンを合計すると$\frac{8}{36}+\frac{4}{36}+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{36}$