問題は3つあります。 (1) 関数 $f(x) = 2x^2 + 3x$ において、$x$ の値が $a$ から $b$ に変わるときの平均変化率を求める問題。選択肢から適切なものを選ぶ。 (2) 関数 $f(x) = x^3 - 2x$ について、$f'(-1)$ を求める問題。 (3) 関数 $y = (2x - 3)^3$ を微分する問題。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 関数 $f(x) = 2x^2 + 3x$ において、$x$ の値が $a$ から $b$ に変わるときの平均変化率を求める問題。選択肢から適切なものを選ぶ。

(2) 関数 $f(x) = x^3 - 2x$ について、$f'(-1)$ を求める問題。

(3) 関数 $y = (2x - 3)^3$ を微分する問題。

2. 解き方の手順

(1)

平均変化率は $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ で求められます。

$f(b) = 2b^2 + 3b$

$f(a) = 2a^2 + 3a$

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(2b^2 + 3b) - (2a^2 + 3a)}{b - a} = \frac{2(b^2 - a^2) + 3(b - a)}{b - a} = \frac{2(b - a)(b + a) + 3(b - a)}{b - a} = 2(b + a) + 3 = 2(a + b) + 3$

よって、1は $a$, 2は $b$, 3は 2, 4は 3 です。

(2)

$f(x) = x^3 - 2x$

$f'(x) = 3x^2 - 2$

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2 = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$

よって、5は 3, 6は 2, 7は 1 です。

(3)

$y = (2x - 3)^3$

$y' = 3(2x - 3)^2 \cdot 2 = 6(2x - 3)^2$

$y' = 6(4x^2 - 12x + 9) = 24x^2 - 72x + 54$

よって、8は 6, 9は 2, 10は 3, 11は 2 です。

3. 最終的な答え

(1) 1: ① ($a$), 2: ② ($b$), 3: 2, 4: 3

(2) 5: 3, 6: 2, 7: 1

(3) 8: 6, 9: 2, 10: 3, 11: 2