$xy$平面上に点A(0, 3)を通る傾き$a$の直線$l$と、点B(2, 1)を中心とする半径$r$の円$C$が点Pで接している。 (エ) $r$を$a$で表す。 (オ) $a \neq \pm 1$のとき、$\angle APB$の大きさを求める。 (カ) $AP:BP = 2:1$となるような$a$の値を求める。 (キ) $a$が$a \neq \pm 1$の範囲で変化するとき、Pがある円上を動く。その円の方程式を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に点A(0, 3)を通る傾き$a$の直線$l$と、点B(2, 1)を中心とする半径$r$の円$C$が点Pで接している。

(エ) $r$を$a$で表す。

(オ) $a \neq \pm 1$のとき、$\angle APB$の大きさを求める。

(カ) $AP:BP = 2:1$となるような$a$の値を求める。

(キ) $a$が$a \neq \pm 1$の範囲で変化するとき、Pがある円上を動く。その円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(エ)

直線$l$の方程式は $y = ax + 3$である。点B(2, 1)と直線$l$の距離が半径$r$に等しいので、点と直線の距離の公式より

$r = \frac{|2a + 3 - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|2a + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$

(オ)

円$C$は直線$l$に点Pで接しているので、$l$は円$C$の点Pにおける接線である。

したがって、$BP \perp l$ である。

点A(0, 3)は直線$l$上の点である。

点B(2, 1)を中心とする円$C$上の点Pを考える。

$\angle APB$の大きさを考える。$a \neq \pm 1$である。

直線$l$と線分APのなす角は常に直角ではないため、$90^\circ$ではない。

AP:BP = 2:1となるとき、円周角の定理から$90^\circ$である。

(カ)

$AP:BP = 2:1$なので、$AP = 2BP = 2r$

$AP^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 = x^2 + (y-3)^2$

$BP^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 = r^2 = \frac{4(a+1)^2}{a^2+1}$

$AP^2 = 4BP^2$より、

$x^2 + (y-3)^2 = 4[(x-2)^2 + (y-1)^2]$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 8y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 16x - 2y + 11 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}y + \frac{11}{3} = 0$

$(x-\frac{8}{3})^2 + (y-\frac{1}{3})^2 = \frac{64}{9} + \frac{1}{9} - \frac{33}{9} = \frac{32}{9}$

円の中心 $(\frac{8}{3}, \frac{1}{3})$

直線$l$ $ax - y + 3 = 0$

円の中心 $(\frac{8}{3}, \frac{1}{3})$から直線までの距離は$r$である。

$\frac{|a\frac{8}{3} - \frac{1}{3} + 3|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$

$|8a-1+9| = 6|a+1|$

$|8a+8| = 6|a+1|$

$8|a+1| = 6|a+1|$

$2|a+1| = 0$

$a = -1$

$AP:BP = 2:1$となるような点Pの軌跡を求める。

アポロニウスの円である。

点A(0, 3), 点B(2, 1)とする。

点P(x, y)とすると、

$\sqrt{x^2 + (y-3)^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 8y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 16x - 2y + 11 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}y + \frac{11}{3} = 0$

$(x - \frac{8}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{11}{3} = \frac{64}{9} + \frac{1}{9} - \frac{33}{9} = \frac{32}{9}$

点Pは円 $(x - \frac{8}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = (\frac{4\sqrt{2}}{3})^2$上にある。

直線$l$の傾きは$a = \frac{y-3}{x-0} = \frac{y-3}{x}$

点B(2, 1)を中心とする円$C$ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = r^2$

接する条件 $r = \frac{2|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$

円$(x - \frac{8}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = \frac{32}{9}$と、直線$l$: $ax - y + 3 = 0$が接するとき、

$a = -1$となる。

(キ)

$x^2+y^2 - \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}y + \frac{11}{3} = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 16x - 2y + 11 = 0$

$(x - \frac{8}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = \frac{32}{9}$

3. 最終的な答え

(エ) $r = \frac{2|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$

(オ) $\frac{\pi}{2}$

(カ) $-1$

(キ) $3x^2 + 3y^2 - 16x - 2y + 11 = 0$

または $(x-\frac{8}{3})^2 + (y-\frac{1}{3})^2 = \frac{32}{9}$