正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ から、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ理由を問う問題です。

1. 問題の内容

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ から、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ理由を問う問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ (kは定数) とおくことができます。

このとき、

$a = k \sin A$

$b = k \sin B$

$c = k \sin C$

と表せます。

したがって、

$a:b:c = k \sin A : k \sin B : k \sin C$

となります。

比の性質として、各項に同じ数をかけても比は変わらないので、$k$ で割ると、

$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$

が導かれます。

3. 最終的な答え

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ と書き換えることができます。