$x, y$ は自然数とする。命題「$x^2 + y^2$ が偶数ならば、$x$ は偶数かつ $y$ は偶数」の裏を求め、その真偽を判定する問題。

1. 問題の内容

$x, y$ は自然数とする。命題「$x^2 + y^2$ が偶数ならば、$x$ は偶数かつ $y$ は偶数」の裏を求め、その真偽を判定する問題。

2. 解き方の手順

(1) 命題の裏を求める。

命題「$P$ ならば $Q$」の裏は、「$P$ でないならば $Q$ でない」である。

元の命題は「$x^2 + y^2$ が偶数ならば、$x$ は偶数かつ $y$ は偶数」なので、

$P$ は「$x^2 + y^2$ が偶数」、$Q$ は「$x$ は偶数かつ $y$ は偶数」となる。

$P$ でないは「$x^2 + y^2$ が奇数」、$Q$ でないは「$x$ が奇数または $y$ が奇数」となる。

したがって、命題の裏は「$x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$ は奇数または $y$ は奇数」である。

(2) 命題の裏の真偽を判定する。

$x^2 + y^2$ が奇数であるとき、$x^2$ と $y^2$ の一方が偶数、もう一方が奇数である。

$x$ が偶数ならば $x^2$ は偶数、$x$ が奇数ならば $x^2$ は奇数であるから、$x$ と $x^2$ の偶奇は一致する。同様に、$y$ と $y^2$ の偶奇も一致する。

したがって、$x^2 + y^2$ が奇数であるとき、$x$ と $y$ の一方が偶数、もう一方が奇数である。

これは、$x$ が奇数または $y$ が奇数、と同値である。

したがって、命題の裏は真である。

3. 最終的な答え

命題の裏: $x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$ は奇数または $y$ は奇数

真偽: 真