$\sqrt{6}$が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{6}}$が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{6}}$が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

まず、$\frac{1}{\sqrt{6}}$が無理数でない、つまり有理数であると仮定する。

$\frac{1}{\sqrt{6}}$を有理数 $x$ とおくと、

$$\frac{1}{\sqrt{6}} = x$$

この式から $\sqrt{6}$ を $x$ で表す。

両辺の逆数をとると、

$$\sqrt{6} = \frac{1}{x}$$

$x$ が有理数なので、$\frac{1}{x}$も有理数である。

これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定と矛盾する。

したがって、$\frac{1}{\sqrt{6}}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{\sqrt{6}}$

イ: 有理数

ウ: $\frac{1}{\sqrt{6}}$

エ: $\frac{1}{x}$

オ: 有理数