$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{5}}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1}{\sqrt{5}}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する問題です。

2. 解き方の手順

(ア) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ を無理数でないと仮定すると、つまり有理数であると仮定します。

(イ) (ア)の仮定より、$\frac{1}{\sqrt{5}}$ は有理数である。

(ウ) $\frac{1}{\sqrt{5}} = x$ とおくと、

(エ) 両辺の逆数を取ると、$\sqrt{5} = \frac{1}{x}$

(オ) $x$ が有理数のとき、$\frac{1}{x}$ は有理数である。

したがって、$\sqrt{5} = \frac{1}{x}$ は $\sqrt{5}$ が無理数であることに矛盾する。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

イ: 有理数

ウ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

エ: $\frac{1}{x}$

オ: 有理数