体積が1の四面体OABCにおいて、 ・$\theta$は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 ・辺ABの中点をM ・辺OBを $sin\theta : (1 - sin\theta)$ に内分する点をP ・直線OMと直線APの交点をQ ・直線BQと辺OAの交点をR ・辺BCを $(1 - cos\theta) : cos\theta$ に内分する点をS 四面体RAMSの体積をVとするとき、以下の問いに答える。 (1) OR : RAを求めよ (2) Vを求めよ (3) $\theta$が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で動くとき、Vの最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

体積が1の四面体OABCにおいて、

・$\theta$は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす実数

・辺ABの中点をM

・辺OBを $sin\theta : (1 - sin\theta)$ に内分する点をP

・直線OMと直線APの交点をQ

・直線BQと辺OAの交点をR

・辺BCを $(1 - cos\theta) : cos\theta$ に内分する点をS

四面体RAMSの体積をVとするとき、以下の問いに答える。

(1) OR : RAを求めよ

(2) Vを求めよ

(3) $\theta$が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で動くとき、Vの最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ

2. 解き方の手順

(1) OR : RAを求める

まず、点Qについて、OMとAPの交点なので、実数s, tを用いて

$\vec{OQ} = s\vec{OM} = s(\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2})$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + t(\vec{OP} - \vec{OA}) = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + tsin\theta\vec{OB}$

と表せる。よって

$\frac{s}{2} = 1-t$

$\frac{s}{2} = tsin\theta$

したがって、$1-t = tsin\theta$ より、 $t = \frac{1}{1+sin\theta}$。

$\vec{OQ} = (1-\frac{1}{1+sin\theta})\vec{OA} + \frac{sin\theta}{1+sin\theta}\vec{OB} = \frac{sin\theta}{1+sin\theta}\vec{OA} + \frac{sin\theta}{1+sin\theta}\vec{OB}$

次に、点Rについて、直線BQと辺OAの交点なので、実数uを用いて

$\vec{OR} = u\vec{OA}$

$\vec{OR} = \vec{OB} + v(\vec{OQ} - \vec{OB}) = \vec{OB} + v(\frac{sin\theta}{1+sin\theta}\vec{OA} + \frac{sin\theta}{1+sin\theta}\vec{OB} - \vec{OB}) = \frac{vsin\theta}{1+sin\theta}\vec{OA} + (1 - v + \frac{vsin\theta}{1+sin\theta})\vec{OB} = \frac{vsin\theta}{1+sin\theta}\vec{OA} + (1-\frac{v}{1+sin\theta})\vec{OB}$

したがって、

$u = \frac{vsin\theta}{1+sin\theta}$

$0 = 1-\frac{v}{1+sin\theta}$

より、 $v = 1+sin\theta$。

$u = \frac{(1+sin\theta)sin\theta}{1+sin\theta} = sin\theta$

$\vec{OR} = sin\theta\vec{OA}$

したがって、OR : RA = $sin\theta : (1 - sin\theta)$

(2) Vを求める

$\vec{OS} = \frac{cos\theta}{cos\theta + (1-cos\theta)}\vec{OB} + \frac{1-cos\theta}{cos\theta + (1-cos\theta)}\vec{OC} = cos\theta\vec{OB} + (1-cos\theta)\vec{OC}$

$\vec{OA} = \frac{1}{sin\theta}\vec{OR}$

$V = \frac{1}{6}|\vec{OR} \cdot (\vec{OM} \times \vec{OS})| = \frac{1}{6}|sin\theta \vec{OA} \cdot (\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} \times (cos\theta\vec{OB} + (1-cos\theta)\vec{OC}))| = \frac{1}{12}sin\theta|\vec{OA} \cdot (\vec{OA}\times(cos\theta\vec{OB} + (1-cos\theta)\vec{OC}) + \vec{OB}\times (cos\theta\vec{OB} + (1-cos\theta)\vec{OC}))| = \frac{1}{12}sin\theta |\vec{OA} \cdot (\vec{OB}\times (1-cos\theta)\vec{OC})| = \frac{1}{12}sin\theta(1-cos\theta)|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$

四面体OABCの体積は1なので、$\frac{1}{6}|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})| = 1$。

したがって、

$V = \frac{1}{12}sin\theta(1-cos\theta) \times 6 = \frac{1}{2}sin\theta(1-cos\theta)$

(3) $\theta$が $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で動くとき、Vの最大値およびそのときの$\theta$の値を求める

$V = \frac{1}{2}sin\theta(1-cos\theta)$ を微分する。

$\frac{dV}{d\theta} = \frac{1}{2}(cos\theta(1-cos\theta) + sin\theta sin\theta) = \frac{1}{2}(cos\theta - cos^2\theta + sin^2\theta) = \frac{1}{2}(cos\theta - cos^2\theta + 1-cos^2\theta) = \frac{1}{2}(-2cos^2\theta + cos\theta + 1) = \frac{1}{2}(2cos\theta + 1)(-cos\theta+1)$

$\frac{dV}{d\theta} = 0$ となるのは、$cos\theta = 1$ または $cos\theta = -\frac{1}{2}$。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$cos\theta = 1$ は $\theta = 0$ となり範囲外。

$cos\theta = -\frac{1}{2}$ も範囲外。

$\frac{dV}{d\theta} = \frac{1}{2}(1+cos\theta)(1-cos\theta) \ge 0$ より、$\theta = 0$ で極小値を取る。

$V'(\theta) = \frac{1}{2}(-2cos^2(\theta)+cos(\theta)+1) = -\frac{1}{2}(2cos(\theta)+1)(cos(\theta)-1)$.

$V'(\theta) = 0$ のとき $cos(\theta)=-\frac{1}{2}$ または $cos(\theta)=1$.

$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ は $\theta = \frac{2\pi}{3} \notin (0, \frac{\pi}{2})$.

$cos(\theta) = 1$ は $\theta = 0 \notin (0, \frac{\pi}{2})$.

$cos(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta = \frac{\pi}{3}$ で考える.

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$V = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (1-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{8}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$の前後で符号が変化することを確かめる。

例えば$\theta = \frac{\pi}{4}$,$V = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} (1-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$\theta = \frac{\pi}{2}$,$V = \frac{1}{2}$

$cos(\theta) = \frac{1}{2}$ になる $\theta$の値がないから、$\theta = \frac{\pi}{3}$ で極大値を持つとは言えない。

$\theta=arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}$なので範囲外。

$f(x) = sin(x)(1-cos(x))$の最大値を求める。

$f(x) = sin(x) - sin(x)cos(x)$

$f'(x) = cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = cos(x) - cos^2(x) + 1-cos^2(x) = 1+cos(x)-2cos^2(x)$.

$f'(x) = 0$のとき、$2cos^2(x)-cos(x)-1=0$

$(2cos(x)+1)(cos(x)-1) = 0$.

$cos(x)=1$ or $cos(x)=-\frac{1}{2}$

$x=0$ or $x=\frac{2\pi}{3}$.

よって区間の端の$\theta = \frac{\pi}{2}$で$V = \frac{1}{2}$が最大。

3. 最終的な答え

(1) OR : RA = $sin\theta : (1 - sin\theta)$

(2) $V = \frac{1}{2}sin\theta(1-cos\theta)$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$のとき最大値$\frac{1}{2}$