与えられた命題「2つの正の整数 $x$, $y$ について、$x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$, $y$ の少なくとも1つは奇数である」の対偶を作り、その対偶の真偽を判定することで、元の命題の真偽を判定する。

1. 問題の内容

与えられた命題「2つの正の整数 $x$, $y$ について、$x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$, $y$ の少なくとも1つは奇数である」の対偶を作り、その対偶の真偽を判定することで、元の命題の真偽を判定する。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた命題の対偶を作る。

元の命題は「$x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$ または $y$ が奇数である」という形である。この対偶は「$x$ も $y$ も奇数でないならば、$x^2 + y^2$ は奇数でない」となる。これはつまり、「$x$ も $y$ も偶数ならば、$x^2 + y^2$ は偶数である」と言い換えられる。

(2) 対偶の真偽を判定する。

$x$ と $y$ が偶数であるとする。このとき、$x = 2m$, $y = 2n$ (ただし、$m$, $n$ は整数) と表せる。

すると、$x^2 + y^2 = (2m)^2 + (2n)^2 = 4m^2 + 4n^2 = 4(m^2 + n^2)$ となる。

$m^2 + n^2$ は整数なので、$4(m^2 + n^2)$ は4の倍数であり、したがって偶数である。

よって、「$x$ も $y$ も偶数ならば、$x^2 + y^2$ は偶数である」は真である。

(3) 元の命題の真偽を判定する。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

与えられた命題「2つの正の整数 $x$, $y$ について、$x^2 + y^2$ が奇数ならば、$x$, $y$ の少なくとも1つは奇数である」は真である。