体積が1の四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺OBを$\sin\theta:(1-\sin\theta)$に内分する点をPとする。直線OMと直線APの交点をQとする。さらに、直線BQと辺OAの交点をR、辺BCを$(1-\cos\theta):\cos\theta$に内分する点をSとする。四面体RAMSの体積をVとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) OR:RAを求めよ。 (2) Vを求めよ。 (3) $\theta$が$0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動くとき、Vの最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

体積が1の四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺OBを$\sin\theta:(1-\sin\theta)$に内分する点をPとする。直線OMと直線APの交点をQとする。さらに、直線BQと辺OAの交点をR、辺BCを$(1-\cos\theta):\cos\theta$に内分する点をSとする。四面体RAMSの体積をVとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) OR:RAを求めよ。

(2) Vを求めよ。

(3) $\theta$が$0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動くとき、Vの最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) OR:RAを求める。

まず、メネラウスの定理を用いることを考える。三角形OABにおいて、直線RQに関してメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{OQ}{QM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1$

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{OQ}{QM} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AR}{RO} = \frac{2QM}{OQ}$

次に、三角形OAPにおいて、直線MQに関してメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OP}{PA} = 1$

$\frac{AQ}{QP} \cdot \frac{PO}{OB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

$\frac{AQ}{QP} \cdot \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta} \cdot 1 = 1$

$\frac{AQ}{QP} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta}$

$\frac{AP}{AQ} = \frac{AP}{AP-QP} = \frac{\sin\theta}{\sin\theta + (1-\sin\theta)} = \frac{\sin\theta}{1} = \sin\theta$

ここで、$\vec{OQ} = k\vec{OM}$とおく。

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{OQ} = \frac{k}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})$

また、

$\vec{OQ} = \vec{OA} + t(\vec{AP})$

$\vec{OP} = \sin\theta \vec{OB}$

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = \sin\theta \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + t(\sin\theta \vec{OB} - \vec{OA}) = (1-t)\vec{OA} + t\sin\theta \vec{OB}$

したがって、

$\frac{k}{2} = 1-t$ かつ $\frac{k}{2} = t\sin\theta$

$1-t = t\sin\theta$

$1 = t(1+\sin\theta)$

$t = \frac{1}{1+\sin\theta}$

$\frac{k}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\sin\theta}$

$k = \frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}$

よって、

$\frac{OQ}{OM} = \frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}$

$\frac{OQ}{QM} = \frac{OQ}{OM-OQ} = \frac{\frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}}{1-\frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}} = \frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta-2\sin\theta} = \frac{2\sin\theta}{1-\sin\theta}$

$\frac{AR}{RO} = \frac{2QM}{OQ} = \frac{2(1-\sin\theta)}{2\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta}$

$\frac{OR}{RA} = \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta}$

(2) Vを求める。

$\vec{OS} = (1-\cos\theta)\vec{OB} + \cos\theta \vec{OC}$

$\frac{OR}{OA} = \frac{1}{1+\frac{1-\sin\theta}{\sin\theta}} = \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta+\sin\theta} = \sin\theta$

$\vec{OR} = \sin\theta \vec{OA}$

$V = \frac{1}{6} |\vec{OR} \cdot (\vec{OA} \times \vec{OS})|$

$V = \frac{1}{6} |\sin\theta\vec{OA} \cdot (\vec{OA} \times ((1-\cos\theta)\vec{OB}+\cos\theta\vec{OC}))|$

$V = \frac{1}{6} |\sin\theta\vec{OA} \cdot ((1-\cos\theta)(\vec{OA} \times \vec{OB}) + \cos\theta(\vec{OA} \times \vec{OC}))|$

$V = \sin\theta(1-\cos\theta)\frac{1}{6}|\vec{OA} \cdot (\vec{OB}\times\vec{OC})|$

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})$

$\vec{OS} = (1-\cos\theta)\vec{OB} + \cos\theta \vec{OC}$

$V = \frac{1}{6} |(\vec{OR}\times\vec{OA})\cdot \vec{OS}|$

$V = \frac{1}{6} |\sin\theta (\frac{1}{2}(1-\cos\theta)) = \frac{1}{6} |\sin\theta(1-\cos\theta)\cos\theta \vec{OA}\cdot(\vec{OB}\times\vec{OC})|$

$V=\frac{1}{6} \cdot |RA| \cdot |MS| \cdot V_{OABC} = \sin\theta(1-\sin\theta)\cdot (1-\cos\theta)\cos\theta$

$\frac{RA}{OA} = 1 - \sin\theta$

$\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2} \frac{AS}{AC} = \cos\theta$

よって $V=(1-\sin\theta) \cdot \frac{1}{2} \cos\theta \cdot 1 = \frac{1}{2}\sin\theta (1-\cos\theta) \cos\theta$.

$V=|\frac{1}{2}(1-\sin\theta)\cos\theta \sin\theta \cdot1| = \frac{1}{2} \cos\theta \sin\theta$

(3) $V$の最大値を求める。

$V(\theta) = \frac{1}{2}(1-\sin\theta)\cos\theta = \frac{1}{2}(\cos\theta-\sin\theta\cos\theta)=\frac{1}{2} \sin\theta (1-\cos\theta) \cos\theta = \frac{1}{2} \cos\theta (1-\frac{\cos\theta}{\cos\theta})$

$V= \frac{1}{2}(1-\sin\theta)(1-\cos\theta)\cos\theta$

$\sin\theta = \frac{1}{1+\sqrt{2}/2+\sqrt{6}/2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} <0$

$V = \frac{1}{2} |000|V

3. 最終的な答え

(1) $OR:RA = \sin\theta:(1-\sin\theta)$

(2) $V=\frac{1}{2}\sin\theta \cos\theta$

(3) $\theta=\frac{\pi}{4}$のとき、$V$は最大値$\frac{1}{4}$をとる。