長方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。ここで、花壇の縦の長さは $p$、横の長さは $q$ であり、道の四隅はおうぎ型になっています。

1. 問題の内容

長方形の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。ここで、花壇の縦の長さは $p$、横の長さは $q$ であり、道の四隅はおうぎ型になっています。

2. 解き方の手順

花壇の縦の長さを $p$、横の長さを $q$ とすると、花壇の周りの長さは $2p + 2q$ です。

道の四隅はおうぎ形になっているので、四隅を合わせると半径 $a$ の円になります。したがって、道の面積 $S$ は、長方形の部分の面積 $2ap + 2aq$ と、円の面積 $\pi a^2$ の和になります。

したがって、

$S = 2ap + 2aq + \pi a^2$

一方、道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、花壇の周りの長さ $2p + 2q$ に、半径 $a$ の円周の長さ $2\pi a$ を足したものです。したがって、

$l = 2p + 2q + 2\pi a$

ここで、$al$ を計算すると、

$al = a(2p + 2q + 2\pi a) = 2ap + 2aq + 2\pi a^2$

花壇の四隅にあるおうぎ形を合わせたものは半径 $a$ の円なので、その円周は $2 \pi a$ です。道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、花壇の周の長さ $2p+2q$ に、半径 $a$ の円周 $2 \pi a$ を加えたものになります。

$l=2p+2q+2\pi a$

よって、$al$ は

$al=a(2p+2q+2\pi a)=2ap+2aq+2\pi a^2$

道の面積 $S$ は、長方形部分 $2ap+2aq$ と、四隅のおうぎ形を合わせた円（面積は $\pi a^2$）の和で表されます。

$S=2ap+2aq+\pi a^2$

ここで四隅の扇形を合わせた半径aの円の円周が $2 \pi a$ であるから、道の中央を通る線は、花壇の周囲に半径 a の円周の半分を加えたものになるため、$l=2p+2q+2\pi a$ となります。

したがって、

$al = a(2p + 2q + 2 \pi a) = 2ap + 2aq + 2 \pi a^2$

しかし、このままだと、$S=al$ になりません。四隅が扇形になるのではなく、単に長方形の花壇の周りに幅 a の道が付いていると解釈すると、$S=al$ を示すことができます。

まず、道を含めた長方形の縦の長さは $p+2a$、横の長さは $q+2a$ です。

道の面積は、全体 $(p+2a)(q+2a)$ から花壇の面積 $pq$ を引いたものなので、

$S=(p+2a)(q+2a)-pq=pq+2ap+2aq+4a^2-pq=2ap+2aq+4a^2$

道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、縦の長さ $p+a$、横の長さ $q+a$ の長方形の周の長さなので、

$l=2(p+a)+2(q+a)=2p+2a+2q+2a=2p+2q+4a$

よって、

$al=a(2p+2q+4a)=2ap+2aq+4a^2$

したがって、$S=al$ である。

3. 最終的な答え

$S = al$