平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をE、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をE、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$とおく。

このとき、$\overrightarrow{AF}$と$\overrightarrow{AE}$を$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$で表す。

まず、$\overrightarrow{AF}$について考える。FはBDを4:1に内分する点なので、

$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{d}$

次に、$\overrightarrow{AE}$について考える。EはCDを3:1に内分する点なので、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{4}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{d} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b} = \frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$

ここで、実数kを用いて、

$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$とおくと、

$\frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = k(\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{d})$

$\frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = \frac{k}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4k}{5}\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3}{4} = \frac{k}{5}$ かつ $1 = \frac{4k}{5}$

$\frac{k}{5} = \frac{3}{4}$より、 $k = \frac{15}{4}$

$\frac{4k}{5} = 1$より、 $k = \frac{5}{4}$

矛盾するので、$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AF}$とおくことはできない。

しかし、$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE}$となるsが存在すれば、3点A, F, Eは一直線上にあると言える。

$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE}$とおくと、

$\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{d} = s(\frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d})$

$\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{d} = \frac{3s}{4}\overrightarrow{b} + s\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{1}{5} = \frac{3s}{4}$ かつ $\frac{4}{5} = s$

$\frac{1}{5} = \frac{3s}{4}$より、 $s = \frac{4}{15}$

$\frac{4}{5} = s$より、 $s = \frac{4}{5}$

再度矛盾するので、$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE}$とおくこともできない。

もう一度考える。

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{4}{5}\overrightarrow{d}$

よって、

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = (\frac{1}{5} - \frac{3}{4})\overrightarrow{b} + (\frac{4}{5} - 1)\overrightarrow{d} = (\frac{4-15}{20})\overrightarrow{b} + (-\frac{1}{5})\overrightarrow{d} = -\frac{11}{20}\overrightarrow{b} - \frac{1}{5}\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{EF} = k\overrightarrow{EA}$とおくと、

$-\frac{11}{20}\overrightarrow{b} - \frac{1}{5}\overrightarrow{d} = k(-\frac{3}{4}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{d})$

$-\frac{11}{20}\overrightarrow{b} - \frac{1}{5}\overrightarrow{d} = -\frac{3k}{4}\overrightarrow{b} - k\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$は一次独立なので、係数を比較して、

$-\frac{11}{20} = -\frac{3k}{4}$ かつ $-\frac{1}{5} = -k$

$-\frac{1}{5} = -k$より、$k = \frac{1}{5}$

$-\frac{11}{20} = -\frac{3k}{4}$より、$k = \frac{11}{15}$

また矛盾する。

正しい解法：

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5} \overrightarrow{AD}$

$A, F, E$ が一直線上にあるためには $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AF}$となるスカラー $k$ が存在すればよい。

この場合は $\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} = (k-1)\overrightarrow{AF}$ となり、 $\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$が平行ということになる。

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = (\frac{1}{5}-\frac{3}{4}) \overrightarrow{AB} + (\frac{4}{5}-1) \overrightarrow{AD} = - \frac{11}{20} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{5} \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AE} = s \overrightarrow{AF} + t \overrightarrow{EF}$として、

係数比較をおこなう。

$\frac{3}{4} = \frac{s}{5} - \frac{11t}{20}$

$1 = \frac{4s}{5} - \frac{t}{5}$

$\overrightarrow{AF} = x\overrightarrow{AE}$とおけるなら、一直線上。

$\overrightarrow{OF} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{4}$

3. 最終的な答え

省略